Demostrar que .

Question

Por $n >0$ ,

Demuestre que$$ \frac{1}{1+n^2} < \ln(1+ \frac{1}{n} ) < \frac {1}{\sqrt{n}}$ $

Realmente no tengo ni idea. Lo intenté trabajando en$ n^2 + 1 > n > \sqrt{n} $ pero no da nada.

¿Alguna idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que

PS

lo cual es cierto, de hecho, para$$\frac{1}{1+n^2} < \ln\left(1+ \frac{1}{n} \right)< \frac {1}{\sqrt{n}}\iff\frac{n^2}{1+n^2} < n\ln\left(1+ \frac{1}{n} \right)^n < \frac {n^2}{\sqrt{n}}=n\sqrt n$ la desigualdad dada es verdadera y para$n=1$

PS

Answer 2

Esta desigualdad es correcta solo para$n >1$ y no para$n >0$ según lo solicitado por la persona.

Para$n >1$, sabemos que$$\tag1 \frac{1}{n}<\frac{1}{\sqrt n}$$ and $$\tag2 \frac{1}{(1+n^2)} < \frac{1}{(1+n)}$ $

También, $\tag3\frac1{n+1}<\ln\left(1+\tfrac1n\right)<\frac1n, \forall n>0$

Entonces, la desigualdad general$$\tag4\frac{1}{(1+n^2)} < \frac{1}{(1+n)}<\ln{\left(1+\frac1n\right)}<\frac{1}{n}<\frac{1}{\sqrt n}$$ will be valid only for $ n> 1$ and not for $ n> 0 $.

Answer 3

Encontré que con$$ ln(1+x) < x $$ $ \ forall x \ in] 0, + \ infty [$

podemos probar fácilmente el lado RLH de la desigualdad, porque$sqrt(x) < x$ todavía tiene el problema del primero.

oh encontré algo mas

también tenemos$$ \frac{x}{(1+x)} < ln(1+x) $$ $ \ forall x \ in] 0, + \ infty [$

así que aquí tenemos$$ ln(1+1/n) >\frac{1}{(1+n)} > \frac{1}{(1+n^2)} $ $

Creo que he respondido a mi pregunta. gracias :)