Estoy estudiando a través de un libro de probabilidad y teoría de la medida, y me quedé atrapado en la definición de condicional expectativas que se presentan como proyecciones sobre subespacios. Dada la medida de $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y un sub-sigma álgebra $\mathcal{B} \subset \mathcal{F}$, podemos tomar la variable aleatoria $Y \in L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ y definen $E[Y|\mathcal{B}]$ como es la proyección de $Y$ a el subespacio $L^2(\Omega, \mathcal{B}, P)$. Sin embargo, con el fin de demostrar la proyección existe, debemos establecer que el subespacio $L^2(\Omega, \mathcal{B}, P)$ es cerrado.
El breve justificación de la closedness dado en el libro es que la convergencia en $L^2$ de una secuencia de variables aleatorias implica que existe un larga que converge casi seguramente. Cómo hace esto implica que el subespacio $L^2(\Omega, \mathcal{B}, P)$ está cerrado?
Disculpas si la pregunta es demasiado elemental.
