Integrales para aproximaciones racionales a$e^\pi$

Question

Si hay una explicación para $e^\pi-\pi \approx 20$ similar a este para $2\pi+e \approx 9$ podemos tratar de construir de la misma manera, a partir de las integrales relacionados con aproximaciones racionales a$e^\pi$$\pi$.

Varias de las integrales de enlace $\pi$ a cerca de fracciones, como Dalzell-tipo de integrales para convergents a $2\pi$, pero ¿qué hay de $e^\pi$?

Un intento fallido de

Una forma de describir la $e^\pi$ como fracción, además de una integral de error estaría dado por la siguiente integral base

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{4e^{4atan(x)}}{1+x^2}dx &= e^\pi-1\\ \\ \int_0^1 \frac{\left(1+4x+x^2\right)e^{4atan(x)}}{1+x^2}dx &= e^\pi\\ \end{align} $$

Sin embargo, esto conduce a integrands que cambiar su signo de $(0,1)$ y no son pequeñas, por lo que no son útiles como una prueba.

Por ejemplo, para $e^\pi \approx 23$, que podemos combinar con $\pi\approx 3$, hasta alcanzar los $e^\pi-\pi \approx 20$, tenemos $$\int_0^1 \frac{\left(70-88x-22x^2\right)e^{4atan(x)}}{1+x^2}dx=e^\pi-20$$

WolframAlpha enlace

Del mismo modo, para $e^\pi\approx \dfrac{162}{7}$ hay

$$\int_0^1\frac {(155 x^2 + 620 x - 493)e^{4atan(x)}}{7(1+x^2)} dx = \frac{162}{7}-e^\pi$$

WolframAlpha enlace

Los gráficos WolframAlpha muestran signos de cambios en la $(0,1)$. Por lo tanto, diferentes de las integrales.

Pregunta

Hay integrales con pequeños no negativo integrando de que el rendimiento de aproximaciones racionales a $e^\pi$?

También relacionado con:

Racional de la serie representación de $e^\pi$

Por qué $e^{\pi}-\pi \approx 20$, e $e^{2\pi}-24 \approx 2^9$?

Answer 1

Vamos,

$\displaystyle J(a,b,c)=\int_0^1 \dfrac{(ax^2+bx+c)\text{e}^{4\arctan (x)}}{1+x^2}dx$

quieres encontrar a $a,b,c>0$ enteros y $\alpha,\beta,\gamma$ enteros tales que:

$\alpha J(a,b,c)+\beta \text{e}^{\pi}+\gamma=0$

Función lindep de GP PARI puede ayudar a encontrar empíricamente tales enteros.

usted puede utilizar un triple bucle para $0<a,b,c<max$. Calcular J(a,b,c) y, a continuación, invocar lindep para encontrar $\alpha(a,b,c),\beta(a,b,c),\gamma(a,b,c)$. Si estos números no son demasiado grandes, usted gana.

PS: En la condición a,b,c deben ser corregidos. $a>0$ $b^2-4ac<0$

PS2:

Parece que $\boxed{J(1,4,5)-2\text{e}^{\pi}+1=0}$ (relacionado con el $x^2+4x+5$)

Una antiderivada para $\dfrac{(x^2+4x+5)\text{e}^{4\arctan x}}{1+x^2}$ es,

$(1+x)\text{e}^{4\arctan x}$

(en realidad hay un montón de J(a,b,c) que parecen de trabajo. GP PARI ha encontrado un montón de ellos en pocos segundos)