¿Por qué describimos los sistemas físicos en el espacio de Hilbert?

Question

En la mecánica cuántica estudiamos sistemas físicos asociados a un Espacio de Hilbert . ¿Por qué necesitamos un espacio de Hilbert para describir el estado de un sistema?

Answer 1

Aunque hay muchas perspectivas al respecto, en gran parte unidas por la noción (correcta) de que los espacios de Hilbert permiten aplicar herramientas geométricas, me gustaría presentar otra perspectiva que se ha pasado por alto: Los espacios de Hilbert son la herramienta elegida en QM porque pueden imitar de forma única los espacios de probabilidad.

En la mecánica cuántica, se nos da un objeto que describe por completo el sistema físico considerado, que denominaremos $\psi$ y se les encomienda la tarea de generar un mapeo desde el espacio de $\psi$ funciones a $\mathbb{R}\in[0,1]$ asignación de probabilidades $p(\psi)$ a ellos.

Este proceso consiste en definir un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F}, P)$ donde $\Omega$ representa todos los diferentes observables $\psi$ (llámalos $\hat{\psi}$ ), $\mathcal{F}$ representa las diferentes "combinaciones" posibles de $\hat{\psi}$ (esto se llama $\sigma$ -), y $P$ es el mapeo que asocia una probabilidad $p$ con cada $\hat{\psi}$ o una "combinación" de ellos.

Aunque los espacios de Hilbert no son espacios de probabilidad, están a la altura para imitarlos si hacemos lo siguiente:

• Asociar todos los observables $\psi$ 's, el $\hat{\psi}$ 's , con $\Omega$ .
• Igualar el producto interior de a $\hat{\psi}$ con sí mismo a la medida $P$ .
• Podemos descomponer el espacio en una base ortonormal, que nos permite definir cualquier $\psi$ como la combinación lineal de un conjunto de estados observables $\hat{\psi}$ . Esto es exclusivo de los espacios de Hilbert. A continuación, podemos utilizarlos para definir correctamente $\mathcal{F}$ .

El hecho de que podamos hacer esta descomposición es lo que nos permite definir adecuadamente un espacio de probabilidad, y los espacios de Hilbert son los únicos que pueden hacerlo (al menos directamente) debido a la noción de ortogonalidad que inducen. (Nótese que $L^2$ es el único $L^p$ espacio que define la ortogonalidad, precisamente porque es un espacio de Hilbert).

Answer 2

Es una respuesta corta, pero la publicaré de todos modos.

Normalmente, la mecánica cuántica se presenta de forma que el espacio de Hilbert es el objeto más fundamental de la teoría, y todo lo demás surge de esa estructura inicial. Es decir, los estados son elementos del espacio de Hilbert y los observables están representados por operadores en ese espacio de Hilbert.

Existe otro enfoque en el que los observables se representan mediante elementos de lo que se denomina un $C^*$ -(ver nota al final). Este es el postulado fundamental de este enfoque. Se pueden definir los estados como funciones que actúan sobre estas $C^*$ -objetos de álgebra.

Se puede demostrar que existe un isomorfismo ( Teorema de Gelfand-Naimark ) entre estos dos enfoques. Esto significa que básicamente se puede derivar uno del otro.

Yo diría que, en un sentido físico, el segundo enfoque es algo más natural. Esto se debe a que uno puede preguntarse cuáles son los observables en mi sistema, una pregunta muy física. Luego hay que escribir los objetos matemáticos correspondientes que obedecen a las reglas de un $C^*$ -pero todo el asunto de los estados y las probabilidades puede venir después.

Esto contrasta con el enfoque del espacio de Hilbert, en el que empezamos con el espacio de Hilbert, que a primera, segunda y tercera vista no tiene una conexión obvia con los sistemas físicos con los que trabajamos, y existe esta especie de cosa incómoda en la que los observables "actúan sobre" los estados, a la que hay que acostumbrarse. En el $C^*$ -En el enfoque del álgebra se puede pensar que los observables están representados por números (como en la mecánica clásica), pero hay que recordar que se trata de números especiales que no conmutan.

De todos modos, he dado una explicación muy pobre aquí. Aquí hay algunas referencias más si está interesado.

• arXiv:1211.5627
• El $C^*$ -formalismo algebraico de la mecánica cuántica J.J. Gleason, 2009.

Todo esto para decir que no necesitamos necesariamente un espacio de Hilbert para la mecánica cuántica.

Nota sobre $C^*$ -algebras: La forma más ingenua de pensar en una $C^*$ -es que sus elementos son más o menos como los números complejos habituales a los que estamos acostumbrados, pero no necesariamente conmutan al multiplicarse. Esto probablemente no capta todo lo importante sobre ellos, pero puede llevarte bastante lejos.