Existen útil categórica de caracterizaciones de la topológicos de la separación de los axiomas?

Question

Tietze extensión del teorema establece que: Si $X$ es un espacio normal, y $A$ un subespacio cerrado. Entonces cualquier función continua a los reales $f:A\rightarrow R$ tiene una extensión de a $f':X\rightarrow R$ $f=f'i$ donde $i$ es la inclusión de $A$$X$.

Este lugar puede ser utilizado para caracterizar la normal espacios. Con esta definición no es fácil la prueba de Urysohn del Lexema.

Básicamente, esto es una categoría de la caracterización de la Normalidad. Hay igualmente agradable y útil categórica de las caracterizaciones de los otros axiomas de separación?

También hay uno para Tichonov espacios - estos son completamente regular $T_1$ espacios (de hecho, es siempre resulta que son $T_2$). Ellos siempre han Hausdorff compactifications (un Hausdorff compacto espacio dentro del cual se insertan densamente) y este que les caracteriza. Ya que siempre hay una máxima compactification - la Piedra-Čech compactification. Esto le da una categoría de charactisation de Tichonov espacios.

Answer 1

Qué curiosa coincidencia, sólo he asistido a una charla por M. Gavrilovich sobre categórica de las caracterizaciones de los conceptos básicos de la topología general.

Recordar la noción de ortogonalidad en una categoría, y que parcial de las órdenes pueden ser vistos como espacios topológicos (Alexandrov topología).

• Un espacio de $X$ está conectado iff $X \to \{\bullet\}$ ortogonal a $\{\bullet,\bullet\} \to \{\bullet\}$
• Un mapa de $f : X \to Y$ es inyectiva iff es justo ortogonal a $\{\bullet,\bullet\} \to \{\bullet\}$
• Un mapa de $f : X \to Y$ es surjective iff es justo ortogonal a $\emptyset \to \{\bullet\}$
• Un espacio de $X$ es Hausdorff iff cada inyectiva mapa de $\{\bullet,\bullet\} \to X$ ortogonal a $\{a < b > a'\} \to \{\bullet\}$
• Un espacio de $X$ es compacto iff $\emptyset \to X$ ortogonal a $\coprod_{\beta<\alpha} \beta \to \alpha$ por cada límite ordinal $\alpha$.
• Como usted dice, $X$ es normal iff cada cerró la incrustación $A \hookrightarrow X$ ortogonal a $\mathbb{R} \to \{\bullet\}$