Las superficies y foliaciones de Riemann, conformemente inmersas en el agua

Question

Quiero mostrar que la superficie de Riemann conformemente sumergida en $ \mathbb {R}^4$ son hojas de una 2-foliación $ \mathcal {F}$ . Comienzo con la representación generalizada de Weierstrass de las superficies: toma 4 funciones holomórficas $ \{ \phi (z)_ \alpha , \psi (z)_ \alpha\ },~ \alpha =1,2$ que satisfacen una ecuación de Dirac

$ \partial_z \phi_\alpha =p \psi_\alpha ,~ \partial_ { \bar {z}} \psi_\alpha =-p \phi_\alpha $

con valor real $p(z, \bar {z})$ . Esto define una inmersión conformacional en $ \mathbb {R}^4$ con coordenadas $X_a(z, \bar {z}), a=1,2,3,4$ que satisfacen

$dX_1= \frac {i}{2}( \bar\phi_1\bar\phi_2 + \psi_1\psi_2 )dz+c.c.$

$dX_2= \frac {1}{2}( \bar\phi_1\bar\phi_2 - \psi_1\psi_2 )dz+c.c.$

$dX_3=- \frac {1}{2}( \bar\phi_1\psi_2 + \bar\phi_1\psi_2 )dz+c.c.$

$dX_4= \frac {i}{2}( \bar\phi_1\psi_2 - \bar\phi_1\psi_2 )dz+c.c.$

(para detalles sobre esta "representación generalizada de Weierstrass", véase Konopelchenko y Landolfi ). Llama a esto "submanifold sumergido" $ \Sigma $ . Ahora quiero mostrar que estas superficies definen una foliación, así que quiero mostrar que el campo de los planos tangentes es integrable. En estas coordenadas locales puedo escribir un campo vectorial como

$ V=V^a \frac { \partial }{ \partial X^a}=V^a( \frac { \partial z}{ \partial X^a} \frac { \partial }{ \partial z}+ \frac { \partial \bar {z}}{ \partial X^a} \frac { \partial }{ \partial \bar {z}})$

Me parece bastante obvio entonces que $[V,W]$ es un campo vectorial en $ \Sigma $ si $V,W$ y por el Teorema de Frobenius esto define una 2-foliación. Por otro lado, sé que cualquier superficie antigua en un colector liso no define necesariamente una 2-foliación y no parecía que hiciera nada especial excepto usar coordenadas que dependen suavemente de la coordenada compleja $z$ . Entonces, ¿tengo razón en esto o hice algo extraño?

Answer 1

Creo que hiciste algo extraño.

Cualquier par de soluciones independientes $(( \phi_1 , \psi_1 ),( \phi_2 , \psi_2 ))$ produce una sola inmersión $X: \mathbb {C} \to \mathbb {R}^4$ de acuerdo con el documento que ha citado. Supongo que esta inmersión pretende ser un mapa de cobertura (de lo contrario, la imagen podría no ser un múltiple) de una única superficie diferenciable $ \Sigma $ . Luego se obtiene un campo de avión $ \tau $ (de hecho, obtienes un 2 fotogramas) como el lapso de la imagen de $ \frac { \partial }{ \partial z}$ y $ \frac { \partial }{ \partial \bar {z}}$ bajo $X'$ .

El problema es que $ \tau $ sólo se define en $ \Sigma $ y no en todos los $ \mathbb {R}^4$ . El teorema de Frobenius produciría una 2-foliación sólo dado un campo plano en todos los $ \mathbb {R}^4$ . Tal como está, sólo tenemos un campo de avión en $ \Sigma $ . Así que una 2-foliación de $ \mathbb {R}^4$ incluyendo $ \Sigma $ como una hoja existe sólo si (y si) podemos extender $ \tau $ a un campo plano en todos los $ \mathbb {R}^4$ .

EDITAR:

Permítame poner sus comentarios de esta manera. Por el teorema del vecindario tubular, hay una incrustación $i:(N \Sigma , \Sigma ) \hookrightarrow ( \mathbb {R}^4, \Sigma )$ del paquete normal en $ \mathbb {R}^4$ como un vecindario tubular y regular $ \mathcal {N}$ de $ \Sigma $ en $ \mathbb {R}^4$ . Podemos conseguir un campo de avión en $ \mathcal {N}$ empujando hacia adelante el obvio campo plano $ \tau $ en $ \Sigma \times \mathbb {R}^2$ dada por las traslaciones del campo del plano tangente en $ \Sigma $ en $ \Sigma \times \mathbb {R}^2$ . El avance $i_ \ast ( \tau )$ es un campo plano en $ \Sigma $ que se restringe al campo plano tangente en $ \Sigma $ y obtenemos una dos-foliación en $ \mathcal {N}$ .

El problema es que $i: \mathcal {N} \hookrightarrow \mathbb {R}^4$ no es necesariamente surjectiva. Los puntos que no se han tenido en cuenta por $i$ no se les asignan elementos de 2 planos por $i$ . Para obtener una 2-foliación en todos los $ \mathbb {R}^4$ uno debe asignar elementos de 2 planos a estos puntos perdidos de una manera que sea consistente con $i_ \ast ( \tau )$ . Esto puede o no ser posible.