Solución de una ecuación en$\Bbb{Z}_p$

Question

Deje que$m \in \Bbb{Z}_p$ sea fijo. Deje que$a_1,...a_l$ sean enteros fijos. Estoy tratando de encontrar soluciones de la ecuación$m=x_1^{a_1}...x_l^{a_l}$ donde$x_1,...,x_l\in \Bbb{Z}_p$. Aquí$x_1,...x_l$ son variables.

¿Es posible encontrar al menos una solución de esta ecuación? ¿Podemos encontrar al menos una solución si variamos$l$?

Answer 1

No, no siempre. Tomar, por ejemplo, $\mathbb{Z}_{p}$ donde $p$ es impar, vamos a $m$ ser rectangulares, y $a_{1}=\cdots=a_{l} =2$. Entonces no hay solución a $$m = x_{1}^{2} \cdots x_{l}^{2}$$ debido a $m$ es rectangulares y un producto de los cuadrados es un cuadrado. Este no se verá afectado si varían $l$.

En realidad no tiene sentido permitir $l$ a variar, ya que siempre se puede poner un $x_{i} = 1$ y, a continuación, la correspondiente $a_{i}$ es esencialmente excluidos del cálculo.

EDITAR no tengo una prueba en la palma de mi mano, pero creo que si se pone a $d = \gcd(a_{1}, \ldots, a_{l})$, entonces usted va a tener una solución para $$m = x_{1}^{a_{1}} \cdots x_{l}^{a_{l}}$$ si y sólo si existe una solución para $$m = x^{d}.$$