Dada una $7\times 7$ Tablero con las esquinas retiradas ( $45$ cuadrados en total), cada cuadrado contiene un número natural.
La diferencia entre los números dentro de cuadrados con lados compartidos no es mayor que $4$ .
Demostrar que $2$ cuadrados del tablero comparten el mismo número.
Llevo tiempo dándole vueltas a esto sin éxito, ¿alguna pista?
De cualquier casilla a cualquier otra casilla del tablero, puedes hacer como máximo 10 movimientos. (Un movimiento es horizontal o vertical, por un lugar).
Esto significa que, desde una casilla con el número más pequeño hasta la casilla con el número más grande, puede moverse en un máximo de 10 movimientos. Esto a su vez significa que la diferencia entre el número mayor y el menor es como máximo de 40.
Por lo tanto, sólo puede haber hasta 41 números diferentes en el tablero, y como éste tiene 45 campos, dos contendrán el mismo número.
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Sí, esquinas sería más correcto, sólo números naturales.
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Esto es igual de cierto sin quitar las esquinas, aunque un poco menos obvio.
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En efecto, la distancia máxima sería de 12 pasos, pero esa distancia sólo se realiza en las esquinas opuestas, lo que obligaría a que ambos pares de esquinas opuestas contuvieran los valores mínimo/máximo.