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Cuando es un $n$-dimensiones del colector que se caracteriza por su $m$-dimensiones submanifolds?

Para que $m$, $n$ (si alguna) es la siguiente verdad: si $M$ $M'$ son suaves colectores de dimensión $n$, e $\Phi$ es un bijection de $M$ $M'$tal que para cualquier subconjunto $S$ de $M$, $\Phi(S)$ es un integrado submanifold de $M'$ de la dimensión de $m$ fib $S$ es un integrado submanifold de $M$ de la dimensión de $m$, $\Phi$ es un diffeomorphism?

Esto es claramente falso al $m=0$ e al $m=n$. Pensé que parecía plausible cuando, por ejemplo, $m=1$$n\geq 2$; pero no puedo ver cómo demostrarlo.

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bat Puntos 11

La afirmación es falsa, como se ha dicho, pero creo que un refinamiento puede solucionar el problema. (No estoy seguro de cual es la correcta refinamiento es aún).

Mi contraejemplo es esencialmente una generalización de la toma de $\Phi: \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto x^3$. Para $n=2, m=1$, tomaremos $M=M' = \mathbb R^2 = \mathbb C$. La utilización de complejos coordenadas $z = x+iy$, vamos a $\Phi(z) = z |z|^2$. Este es un diffeomorphism de $\mathbb C \setminus \{ 0 \}$, y es un homeomorphism de $\mathbb C$. A la inversa mapa es $\Phi^{-1}(z) = z |z|^{-2/3}$ ($\Phi^{-1}(0) = 0$).

Voy a demostrar que si $S$ está incrustado en $\mathbb C$ $\Phi(S)$ está incrustado. La otra dirección que sigue el mismo argumento, pero el uso de la función inversa en su lugar. Si $S$ evita $0$, no hay nada que comprobar. Si $S$ intersecta $0$, podemos reducir el problema local de una curva suave $\gamma: [-1,1] \to \mathbb{C}$, $\gamma(0) = 0$, $\gamma'(t) \ne 0$. A continuación, compruebe que el $\gamma( t^{1/3})$ cumple que $\Phi( \gamma( t^{1/3}))$ es suave. (La manera más fácil de ver esto es que tenga en cuenta que $\gamma(t) = ut + O(t^2)$ para un no-cero constante $u$, y por lo tanto $\Phi( \gamma(t) ) = u|u|^2 t^3 + O(t^4).)

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skinp Puntos 2096

(Este es un poco largo para un comentario, pero no es una respuesta completa)

Aquí es donde me gustaría empezar cuando se mira en esta pregunta.

Teorema: La categoría de suave colectores es una subcategoría de la categoría de Frölicher espacios.

En primer lugar, necesitamos saber lo que es una Frölicher espacio! Es un triple $(X,C,F)$ donde $X$ es un conjunto, $C \subseteq \operatorname{Map}(\mathbb{R},X)$ es una familia de curvas en $X$ $F \subseteq \operatorname{Map}(X,\mathbb{R})$ es una familia de funcionales en $X$. Tenga en cuenta que estos son solo conjunto de mapas. Las curvas y funcionales han de satisfacer una condición de compatibilidad de:

  1. $\alpha \in C$ si y sólo si $\phi \circ \alpha \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ todos los $\phi \in F$, y
  2. $\phi \in F$ si y sólo si $\phi \circ \alpha \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ todos los $\alpha in C$.

Una de morfismos de Frölicher espacios es un conjunto de mapa de $f \colon X \to Y$ que satisface las siguientes (equivalente) condiciones:

  1. $f \circ \alpha \in C_Y$ todos los $\alpha \in C_X$,
  2. $\phi \circ f \in F_X$ todos los $\phi \in F_Y$,
  3. $\phi \circ f \circ \alpha \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ todos los $\alpha \in C_X$$\phi \in F_Y$.

La regla de la cadena es suficiente para mostrar que no es un functor de la categoría de suave colectores para que de Frölicher espacios, donde podemos asignar a un suave colector $M$ el Frölicher espacio de $(M, C^\infty(\mathbb{R},M), C^\infty(M,\mathbb{R}))$. Queremos mostrar que este incorpora la categoría de suave colectores como un completo subcategoría.

En primer lugar, que es fiel es obvio ya que ambas categorías son de concreto (que es, equipado con un fiel functor a $\operatorname{Set}$) y el functor conserva esta estructura.

Tan sólo tenemos que mostrar que está lleno. Como ambas categorías son el hormigón y el functor conserva esta estructura), es suficiente para demostrar que si $f \colon M \to N$ es un conjunto de mapas que es no suave, entonces no es un morfismos en el Frölicher categoría. Así que vamos a $M$ $N$ dos liso colectores e $f \colon M \to N$ un conjunto de mapas que no es suave. Entonces no hay un gráfico de $M$ y un gráfico de $N$ que detecta esta falta de suavidad. Es decir, no son lisas, mapas de $\theta_M \colon U_M \to V_M \subseteq M$ $\theta_N \colon U_N \to V_N \subseteq N$ tal que $g = \theta_N \circ f \circ \theta_M$ tanto tiene sentido y no es suave.

Ahora $g$ es un mapa a partir de un subconjunto abierto de algunas espacio Euclidiano para abrir un subconjunto de algún espacio Euclidiano. Un mapa en un subconjunto abierto de un espacio Euclidiano es suave si y sólo si es suave cuando se la considera como un mapa en el espacio ambiente, y, a continuación, un mapa en un espacio Euclidiano es suave si y sólo si todas las composiciones con las proyecciones son lisas. Así, podemos encontrar algunos de proyección $\pi_i \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $\pi_i \circ \iota \circ g \colon U_M \to \mathbb{R}$ no es suave. Además, como $U_M$ es un subconjunto abierto de algunas espacio Euclidiano, podemos encontrar una abierta disco tal que la restricción de este mapa para que el disco no es suave, y luego componer con un diffeomorphism del espacio ambiental para que el disco nos ofrece un no-liso mapa de $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$.

Ahora viene la magia de paso. Utilizamos un resultado de Jan Boman que dice que un mapa de $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ es suave si y sólo si sus composiciones con curvas suaves suaves. Es decir, $h \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ es suave si y sólo si $h \circ \gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suave para todos los $\gamma \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}^m)$. Así como nuestro mapa no es suave, no es una curva suave $\gamma \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$ que detecta esta falta de suavidad. Ahora podemos desmontar todas las construcciones de transferencia de esta curva en una curva suave en $M$, del mismo modo que podemos transferir nuestros proyección a un suave funcional en $N$, y producir una curva suave $\alpha \in C_M$ funcional y $\phi \in F_N$ tal que $\phi \circ f \circ \alpha$ no es suave. Por lo tanto $f$ es no un morfismos en la categoría de Frölicher espacios.

Esto demuestra el teorema.


Ahora la pregunta como se indicó pregunta sobre incrustado submanifolds, no todos los mapas de, digamos, $\mathbb{R}$. Por lo que el lugar para buscar es para ver si Boman el resultado funciona si uno es solo de prueba, con curvas que se parametrisations de submanifolds. Como este es un local resultado, y las inmersiones son locales incrustaciones, es suficiente para probar con curvas de $\alpha \in C^\infty(\mathbb{R},M)$ con los no-desaparición de la primera derivada.

Mi instinto sería decir que el resultado aún se mantiene, pero no tengo una buena comprensión de los detalles de Boman la prueba para estar seguro. Yo sé que usted no necesita todas las curvas suaves para que funcione. Por ejemplo, puede dejar fuera de todas las curvas que tiene la no despreciable intersección con, digamos, el $x$-eje.

Referencias

  • Boman, J. (1967). La diferenciabilidad de una función y de sus composiciones con funciones de una variable. De matemáticas. Scand., 20, 249-268.

  • Kriegl, A. y M., Peter W. (1997). El cómodo ajuste de análisis global (Vol. 53). Matemática Encuestas y Monografías. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana.

  • nLab páginas, a partir de Frölicher espacios.

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