Voy a dar algunos antecedentes antes de formular sus preguntas.(el siguiente texto está sacado de el libro)
Cada individuo de la población se supone dar a luz a un ritmo exponencial de $\lambda$ además ,hay un aumento exponencial de la tasa de aumento de la $\theta$ debido a una fuente externa de inmigración. Por lo tanto el total de la tasa de natalidad en donde hay $n$ de las personas en el sistema de es $n\lambda + \theta$ . Las muertes se atribuyen a producirse a un ritmo exponencial $\mu$ por cada miembro de la población, por lo $\mu_n = n\mu$.
Deje $X(t)$ indicar el tamaño de la población en el tiempo $t$. Supongamos $X(0)= i$ y deje $M(t) = E[X(t)]$ . Así que determinará $M(t)$ por derivados y, a continuación, la solución de una ecuación diferencial que satisface.
empezamos por derivar una ecuación para $M(t+h)$ acondicionado en $X(t)$ de esta producción:
$M(t+ h) = E[X(t+h)] = E[E[X(t+h)\vert X(t)]]$
Ahora bien,dado el tamaño de la población en el tiempo $t$ a continuación, ignorando eventos cuya probabilidad es $o(h)$, la población en el tiempo $t+h$ va a aumentar en tamaño de 1 si el nacimiento o inmigración se produce en $ (t,t+h)$ , o bien, disminuir en 1 si se produce una muerte en este intervalo, o siguen siendo los mismos, si ninguna de estas dos posibilidades se produce que se da $X(t)$
$X(t+h)$= \begin{cases} X(t) + 1 , with- probability & [\theta + X(t)\lambda]h + o(h) \\ X(t) - 1, with-probability & X(t)\mu h + o(h)\\ X(t), with-probability & 1-[\theta + X(t)\lambda + X(t)\mu]h +o(h) \end{casos}
por lo tanto, $E[X(t+h) \vert X(t)] = X(t) + [\theta + X(t)\lambda - X(t)\mu]h + o(h)$
..... ..... .....(texto continúa)
$\textbf{questions:}$
$\textbf{(1)}$, entiendo que el primero de los dos casos , pero el último caso i don' t tranquila obtiene: $X(t)$, con probabilidad de $1-[\theta + X(t)\lambda + X(t)\mu]h +o(h)$. alguien puede explicar esto?
$\textbf{(2)}$¿Cómo debo interpretar esta declaración: $E[X(t+h) \vert X(t)] = X(t) + [\theta + X(t)\lambda - X(t)\mu]h + o(h)$
estas son mis dos preguntas.
