¿Es un producto contable de intervalos compactos en$\mathbf R$ compacto (sin usar el AC)?

Question

Deje que$\{I_n=[a_n,b_n]\}_{n\in\mathbf N}$ sea una colección contable de intervalos cerrados y limitados en$\mathbf R$. ¿Es el producto cartesiano infinito$$\prod_{n=1}^\infty I_n$ $ compacto sin usar el Axiom de elección?

Answer 1

Ver Herrlich del libro El Axioma de Elección [1], Teorema 3.13:

(ZF) $[0,1]^\mathbb N$ es compacto.

Por supuesto, su pregunta es acerca de un producto en general de intervalos cerrados, sin embargo tenga en cuenta que las funciones de $f_n\colon[a_n,b_n]\to[0,1]$ definido por $$f_n(x)=\frac{x-a_n}{b_n-a_n}$$ are homeomorphisms, and therefore we can transfer the product of closed intervals to a product of $[0,1]$.

También se debe señalar que esto no es cierto para general innumerables productos, de hecho aun $[0,1]^\mathbb R$ puede no ser compacta (ver [1, Sección 4.8: teorema de 4.70 y E 13]).

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Bibliografía:

1. Herrlich, H. Axioma de Elección. Notas de la conferencia en Matemáticas, Springer, 2006.