Encuentra la función completa$f$.

Question

Supongamos que$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ está completo y que$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$. Si$u^2-v^2\geq x^2-y^2$ para todos$z=x+iy$, ¿qué información podemos tener sobre$f$?

Parece que el teorema de Liouville debe aplicarse en alguna parte aquí. Ahora la desigualdad de arriba nos da que la parte real de$f(z)^2$ es mayor que la parte real de$z^2$ para todos$z\in\mathbb{C}$. Pero, ¿cómo proceder desde aquí? Las pistas serían geniales.

Answer 1

Como se observa, se requiere que $$\Re [f^2(z)]\ge\Re [z^2]\implies\Re[f^2(z)-z^2]\ge 0$$

Deje $G(z)=f^2(z)-z^2$. Desde su parte real es inferior acotada, tenemos $G(z)=C$ por el lema de abajo, donde $\Re [C]\ge0$.

Por lo tanto, obtenemos $f^2(z)=C+z^2$.

Si $C\ne0$, $f=\sqrt{C+z^2}$ no debe ser entero. Por lo tanto $C=0$.

Las únicas posibilidades de $f(z)$: $f(z)=z$$f(z)=-z$.

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Lema. Si una función toda $f$ satisface $\Re [f(z)]\ge M$ para algunas constantes $M$ y todos los $z$, $f$ es una constante.

Prueba. Considere la posibilidad de $g=e^{-f(z)}$. A continuación,$|g|=e^{-\Re [f(z)]}$.

Desde $\Re [f(z)]\ge M$, $|g|=e^{-\Re [f(z)]}\le e^{-M}$. Por el teorema de Liouville, $g$ es una constante, y por lo tanto así es $f$. Q. E. D.