$SL_2(\mathbb{Z})$ es un producto amalgamado

Question

Se sabe que $SL_2(\mathbb{Z})= <S,R>$ donde los generadores son $S=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $R=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ de los órdenes 4 y 6 respectivamente.

Además, se sabe que $$PSL_2(\mathbb{Z})\cong <S | S^2>*<R|R^3>\cong <S,R | S^2, R^3>$$ el producto libre de grupos cíclicos de orden 2 y 3. Siendo los generadores las imágenes de $S$ y $R$ en $PSL_2(\mathbb{Z})$

Espero encontrar una prueba (posiblemente usando los hechos conocidos anteriormente) que- $$SL_2(\mathbb{Z}) \cong <S,R | S^4,R^6, S^2=R^3>$$

Es decir, isomorfo a un producto amalgamado.

Esperemos que sea más fácil al utilizar los hechos conocidos...

Answer 1

Dejemos que $G = \langle R,S \mid S^4=R^6=1, S^2=R^3 \rangle$ y que $N$ sea su subgrupo $\langle S^2 \rangle$ . Entonces $N \le Z(G)$ , $|N| \le 2$ y $G/N \cong \langle S,R \mid S^2=R^3=1 \rangle$ .

Dado que las dos matrices que denotan $S$ y $R$ satisfacen las relaciones de grupo y generan ${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ existe un homomorfismo surjetivo $\tau:G \to {\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ .

Sabemos que $\tau$ induce un isomorfismo $G/N \to {\rm PSL}(2,\mathbb{Z})$ . Por lo tanto, si $g \in \ker \tau$ entonces $g \in N$ . Pero $\tau(N) = \left\langle \left( \begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right)\right\rangle$ tiene orden $2$ y $|N| \le 2$ Así que $\tau$ restringido a $N$ es inyectiva. Por lo tanto, $\tau$ es inyectiva, por lo que es un isomorfismo, y $|N|=2$ .