¿De cuántas maneras se pueden sentar en una mesa redonda las personas de$7$ de vestimenta de color blanco y$5$ de vestimenta de color negro si ninguna de las personas de traje de color negro es adyace

Question

En cuántos arreglos diferentes puede 7 blanco adecuado a las personas y 5 negras adaptado personas se sientan en una mesa redonda de 12 asientos, por lo que ninguno de los black adecuado de las personas va a sentarse uno al lado del otro?

La forma en que me trató de este enfoque es considerar los posibles arreglos de asientos el negro adecuado de las personas y el blanco adecuado de las personas en dos grupos.

Y para cada una de estas disposiciones, el blanco adecuado, los chicos pueden reorganizar sus posiciones en 7! formas y para cada uno de los reordenamientos el negro adecuado, los chicos pueden reorganizar sus posiciones en 5! maneras. Así, el número total de asientos posibles arreglos que tenemos es $3\times7!\times5!$

Es este enfoque correcto? Hay otras mejores maneras de abordar el problema?

Answer 1

Por convención, en un arreglo circular, sólo el orden relativo de las personas de los asuntos. Supongamos que Andrew es una de las siete personas en trajes blancos. Vamos a utilizar como punto de referencia.

Asiento De Andrew. Los restantes seis personas en trajes blancos pueden ser dispuestos en $6!$ órdenes de proceder de las agujas del reloj alrededor de la mesa de Andrew. Esto crea siete espacios, uno a la izquierda inmediata de cada una de las personas en trajes blancos. Para separar a las personas en trajes negros, debemos elegir cinco de estos espacios para la gente en trajes negros. Una vez que estos espacios han sido seleccionados, de las cinco personas en trajes negros puede estar sentado en aquellos espacios en $5!$ órdenes de proceder de las agujas del reloj alrededor de la mesa de Andrew. Por lo tanto, hay $$6!\binom{7}{5}5!$$ distinguible de los asientos en los que no hay dos personas en trajes negros se sientan en asientos contiguos.