La descomposición dependen de variables aleatorias de Bernoulli independientes de Bernoulli variables aleatorias

Question

Hace un mes, me respondió una pregunta que se le preguntó, en pocas palabras, si para un determinado conjunto finito de dependiente de Bernoulli-distribuido variables aleatorias, puede crear un conjunto de variables aleatorias de Bernoulli independientes que llevan la misma información. Yo formalizó la idea como esta:

Deje $(Ω, Σ, μ)$ ser un espacio de probabilidad. Si $X_1, X_2, …, X_n$ son variables aleatorias de Bernoulli en $Ω$, entonces no existen independientes de Bernoulli variables aleatorias $Y_1, Y_2, …, Y_m$ $Ω$ y una función de $f : \{0, 1\}^m → \{0, 1\}^n$ tal que para todo $ω ∈ Ω$, $f(Y_1(ω), …, Y_m(ω)) = (X_1(ω), …, X_n(ω))$.

(Intuitivamente, la conjetura dice que los valores de los independientes $Y_i$s basta para determinar los valores de la no necesariamente independientes $X_i$s. Observe que $m$ necesidad no es igual a $n$, y, de hecho, puede ser necesario mucho más grande.)

Esta declaración puede ser fácilmente refutada por la elección de una pequeña probabilidad finita de espacio $(Ω, Σ, μ)$ que no tiene ningún par de variables aleatorias de Bernoulli independientes. Pero supongamos que requieren $(Ω, Σ, μ)$ [0, 1] con la Borel σ-álgebra y la medida de Lebesgue. Ahora tenemos una más espacioso y más familiar de probabilidad subyacentes espacio. Es la conjetura de verdad ahora?

Answer 1

Si se descomponen de la distribución conjunta de $X_1,\ldots,X_n$ $$p(x_1)p(x_2|x_1)\cdots p(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})$$ a continuación, cada término del producto es una distribución de Bernoulli, que la probabilidad depende de las anteriores realizaciones de la $X_i$'s.

Por lo tanto, si estoy de sorteo

1. $Y_1$ como una variable aleatoria de Bernoulli con probabilidad de $p=\mathbb{P}(X_1=1)$
2. dos de Bernoulli independientes varia $Y_2^1$ $Y_2^0$ con probabilidades $\mathbb{P}(X_2=1|X_1=1$ $\mathbb{P}(X_2=1|X_1=0)$
3. cuatro de Bernoulli independientes varia $Y_3^{1,1}$, ... y $Y_3^{0,0}$ con probabilidades $\mathbb{P}(X_3=1|X_1=1,X_2=1$, ... y $\mathbb{P}(X_3=1|X_1=0,X_2=0)$
4. ...
5. $2^{n-1}$ de Bernoulli independientes varia $Y_n^{x_1,x_2,...,x_{n-1}}$ con probabilidades $\mathbb{P}(X_n=1|X_1=x_1,X_2=x_2,...,X_{n-1}=x_{n-1})$

Tengo una gran colección de Bernoulli independientes variables para reconstituir la $X_i$'s.