Si un grupo satisface $x^3=1$ para todos $x$ ¿es necesariamente abeliana?

Question

Sé que cualquier grupo que satisfaga $x^2=1$ para todos $x$ es abeliana. ¿Es lo mismo si $x^3=1$ ? No creo que lo sea, pero no encuentro un contraejemplo básico.

Answer 1

Para cualquier primo impar $p$ existe un grupo no abeliano $H_p$ de orden $p^3$ y tal que $x^p = 1$ para todos $x \in H_p$ : el Grupo de Heisenberg módulo p .

Añadido : Como señala Dylan Moreland, esta nota expositiva de Keith Conrad da una muy buena discusión de los grupos de orden $p^3$ incluyendo los grupos de Heisenberg $H_p$ .