Calcular el último dígito de $3^{347}$

Question

Creo que sé cómo resolverlo, pero ¿es esa la mejor manera? ¿Hay alguna forma mejor (utilizando la teoría de los números)? Lo que hago es sabiendo que

1a potencia, último dígito: 3
Última cifra de la segunda potencia: 9
Última cifra de la tercera potencia: 7
4rh power último dígito: 1
5ª potencia último dígito: 3

$3^{347} = 3^{5\cdot69+2} = (3^5)^{69} \cdot3^2 = 3\cdot3^2=3^3=27 $ por lo que el resultado es $7$ .

Answer 1

¿Qué tal si $$ 3^2 \equiv -1\pmod {10} $$ así que $$ 3^{347} \equiv 3^{2\cdot 173+1} \equiv 3 \cdot(-1)^{173} \equiv -3 \equiv 7 \pmod {10} $$

Answer 2

No sé por qué ninguna de las respuestas actuales habla de por qué sus métodos son erróneos y usted acaba de obtener la respuesta correcta, así que supongo que tocaré ese tema.

En primer lugar, no tiene ningún sentido "factorizar" $3^5$ cuando el último dígito cicle con una longitud de $4$ . En cualquier caso, no es matemáticamente incorrecto, así que aquí está cómo lo harías usando eso:

$3^{347} \equiv 3^{5*69 + 2} \equiv (3^5)^{69} * 3^2 \pmod {10}$

En el siguiente paso es donde se comete el primer error matemático. Usted reduce $(3^5)^{69}$ a $3$ pero en realidad se reduce a $3^{69}$ . Entonces, usted diría $3^{69} \equiv 3^{4 * 17 + 1} \equiv (3^4)^{17} * 3 \equiv (1)^{17} * 3 \equiv 3 \pmod {10}$ . Por suerte para ti, este resulta que se reduce a $3$ Así que tienes la respuesta correcta. Ahora podemos concluir con seguridad $(3^5)^{69} * 3^2 \equiv 3 * 3^2 \equiv 7 \pmod {10}$

Como he dicho antes, tiene mucho más sentido el factor $3^4$ . Este es el aspecto que tendría utilizando ese método:

$3^{347} \equiv (3^4)^{86} *3^3 \equiv 1^{86}* 3^3 \equiv 7 \pmod {10}$

Mucho más fácil, ¿no?

Answer 3

El último dígito gira en un ciclo de 4, no de 5. Sería mejor que aplicaras tu método empezando por el 0:

0ª potencia última cifra: 1
1a potencia, último dígito: 3
Última cifra de la segunda potencia: 9
Última cifra de la tercera potencia: 7
4ª potencia última cifra: 1

Y continuar a partir de ahí.

Answer 4

Su razonamiento es erróneo; usted afirmó $(3^5)^{69} \equiv 3$ Pero has tenido suerte de que sea así; no funciona en general. Desde $3^5\equiv 3\pmod{10}$ podría haber simplificado $(3^5)^{69}$ a $3^{69}$ y procedió a partir de ahí.

Puede ser más sencillo reducir por $3^4$ , ya que $3^4\equiv 1\pmod{10}$ : $$3^{347} = \big(3^4\big)^{86}\cdot3^3 \equiv 1^{86}\cdot3^3 = 3^3 = 27 \equiv 7\pmod{10}.$$

Answer 5

$$3^{4n+3}=(3^4)^n\cdot3^3=(1+80)^n\cdot(20+7)$$

Uso de la expansión binomial, $$(1+80)^n=1+\binom n180+\cdots+\binom n{n-1}80^{n-1}++80^n\equiv1\pmod{10}$$