Demostrar que $f(\lambda,v)=\lambda v$ es continua

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial con una métrica $d$. Supongamos que esta medida satisface:

(1) $d(v+z,w+z)=d(v,w)$ $\forall v,w,z\in V$

(2) $d(\lambda v,\lambda w)=|\lambda|d(v,w)$ $\forall v\in V, \lambda \in \mathbb R$

Demostrar que $f:\mathbb R \times V\to V$ $f(\lambda,v)=\lambda v$ es una función continua:

Lo que he hecho hasta ahora:

Deje $(\lambda_0,v_0)\in \mathbb R\times V$ $\epsilon>0$ quiero encontrar a $\delta>0$ que si $$d_{\Bbb R\times V}((\lambda,v),(\lambda,v_0))=d_V(v,v_0)+d_{\mathbb R}(\lambda,\lambda_0)<\delta$$ then $d_v(\lambda v,\lambda_0 v_0)<\epsilon.$ (I´m working with the "taxicab" metric in $\Bbb R\times V$.)

$$\begin{align} d_V(\lambda v,\lambda v_0) &\le d_V(\lambda v,\lambda v_0)+d_V(\lambda v_0,\lambda_0 v_0)\quad \text{[by triangle inequality]}\\ &\overset{(2)}{=} |\lambda|d_V(v,v_0)+ d_V(\lambda v_0,\lambda_0 v_0)\\ &\overset{(1)}{=} |\lambda|d_V(v,v_0)+d_V(\lambda v_0-\lambda v_0,\lambda_0 v_0-\lambda v_0)\\ &= |\lambda|d_V(v,v_0)+d_V(0,(\lambda_0-\lambda)v_0)\\ &\overset{(2)}{=} |\lambda|d_V(v,v_0)+|\lambda-\lambda_0|d_V(0,v_0)\\ &= |\lambda|d_V(v,v_0)+d_{\mathbb R}(\lambda, \lambda_0)d_V(0,v_0)\\ \end{align}$$

Creo que estoy casi allí, pero el problema es que los factores de $|\lambda|$$d_V(0,v_0)$, pero no sé qué hacer a partir de este punto.

Yo realmente apreciaría si usted me puede ayudar con este problema

Answer 1

De donde has dejado: Si $|\lambda - \lambda_{0}| < 1$,$\lambda_{0} - 1 < \lambda < |\lambda_{0}| + 1$, por lo que $|\lambda| < \max \{ |\lambda_{0}-1|, |\lambda_{0}| + 1 \} =: \varepsilon'$, y por lo tanto $$ d_{V}(v,v_{0})|\lambda| + |\lambda \lambda_{0}|d_{V}(0,v_{o}) < \varepsilon' d_{V}(v,v_{0}) + |\lambda \lambda_{0}|[ d_{V}(0,v_{o}) + 1]; $$ de tomar cualquier $\varepsilon > 0$, tenemos $$ \varepsilon'd_{V}(v,v_{0}) + |\lambda \lambda_{0}|[ d_{V}(0,v_{o}) + 1] < \varepsilon $$ si $d_{V}(v,v_{0}) < \varepsilon/2\varepsilon'$ e si $|\lambda - \lambda_{0}| < \varepsilon/2[d_{V}(0,v_{0}) + 1]$; por lo tanto, hemos demostrado que por cada $\varepsilon > 0$ si $d_{V}(v,v_{0}) < \varepsilon/2\varepsilon'$ e si $|\lambda - \lambda_{0}| < \min \{ 1, \varepsilon/2[ d_{V}(0,v_{0}) + 1]\},$$|f(\lambda,v) - f(\lambda_{0},v_{0})| < \varepsilon$.