La prueba de que $\mathbb{E} X^k = 0$ para todos los impares $k$ implica $X$ simétrica para delimitada $X$ sin funciones características

Question

Estoy trabajando a través de los ejercicios en Terry Tao Temas al Azar en la Teoría de la Matriz, y llegó a través de:

Deje $X$ ser un almacén real de variable aleatoria. Mostrar que $X$ es simétrica si y sólo si $\mathbb{E}X^k = 0 $ para todos los enteros impares positivos $k$.

Claramente, si $X$ es simétrica, entonces $\mathbb{E} X^k = 0$ para todos los enteros impares positivos $k$; para la dirección inversa, que puede mostrar esta usando el análisis de Fourier/funciones características:

Desde $X$ es acotado, sabemos por DCT que $$ \mathbb{E} e^{it X} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{(it)^k \mathbb{E} X^k}{k!} = \sum\limits_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^jt^{2j} \mathbb{E} X^{2j}}{(2j)!}$$ donde también hemos usado que los momentos impares son cero. Esto es real, real $t$, lo que implica entonces que $$\mathbb{E} e^{-itX} = \overline{\mathbb{E} e^{itX}} = \mathbb{E} e^{itX}.$$

Desde $X$ $-X$ tienen la misma función característica, que también deben tener la misma distribución.

Tao unidos después de que "también es interesante encontrar un real de variable' la prueba de que evita el uso de esta función," pero soy incapaz de encontrarlo. Intuitivamente, parece que debe haber algún tipo de exponencial momento, porque lo que necesita para capturar los datos de todos los momentos al mismo tiempo. No estoy seguro de cómo hacerlo sin tener que ir directamente a la función característica. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$\newcommand\E{\Bbb E}$Dice $-1\le X\le 1$.

Si $p$ es una extraña polinomio, a continuación,$\E[p(X)]=0$.

Supongamos $f:[-1,1]\to\Bbb R$ es continua y extraño. Existen polinomios $q_n$ que convergen a $f$ uniformemente. Por lo tanto $p_n\to f$ uniformemente en $[-1,1]$ si $p_n(t)=(p(t)-p(-t))/2$. Pero $p_n$ es una extraña polinomio, por lo tanto $\E[f(X)]=0$.

Ahora supongamos $-1\le a< b\le 1$ y deje $f=\Bbb 1_{(a,b)}-\Bbb 1_{(-b,-a)}$. Existen funciones continuas $f_n$ $|f_n|\le 1$ tal que $f_n\to f$ pointwise (saca una foto...). Así DCT muestra que $P(a<X<b)-P(-b<X<-a)=\E[f(X))]=0$.