$\newcommand{\Cor}{\operatorname{Cor}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}$Mi pregunta es ¿por qué la expresión siguiente tiene?
$$t = \frac{\hat{\beta_1}}{\operatorname{se}(\beta_1)} = \frac{\Cor(Y,X)\sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - \Cor^2(Y,X)}}$$
Aquí es lo que tengo hasta el momento:
\begin{align} \frac{\hat{\beta_1}}{\operatorname{se}(\beta_1)} &= \frac{\frac{\Cov(Y,X)}{S_x^2}}{\operatorname{se}(\beta_1)}\\ &= \frac{\frac{\Cov(Y,X)}{S_x^2}}{\sqrt{\frac{\sum(\hat{Y_i} - Y_i)^2}{n-2}\cdot\frac{1}{\sum(X_i - \overline{X})^2}}}\\ &= \frac{\frac{\Cov(Y,X)}{S_x^2}\sqrt{n-2}}{\sqrt{\frac{\sum(\hat{Y_i} - Y_i)^2}{\sum(X_i - \overline{X})^2}}}\label{a}\tag{1} \end{align}
\begin{align} \frac{\Cor(Y,X)\sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - \Cor^2(Y,X)}} &= \frac{\frac{\Cov(Y, X)}{S_xS_y}\sqrt{n-2}}{\sqrt{1 - \left(\frac{\Cov(Y, X)}{S_xS_y}\right)^2}} \label{b}\tag{2} \end{align}
De$\ref{a}$$\ref{b}$, luego tenemos que mostrar:
\begin{align} \frac{1}{S_x\sqrt{\frac{\sum(\hat{Y_i} - Y_i)^2}{\sum(X_i - \overline{X})^2}}} &= \frac{1}{S_y\sqrt{1 - \left(\frac{\Cov(Y, X)}{S_xS_y}\right)^2}}\\ &=\frac{1}{S_y\frac{\sqrt{S_x^2S_y^2 -\Cov^2(Y, X)}}{S_xS_y}}\\ &=\frac{1}{\frac{\sqrt{S_x^2S_y^2 -\Cov^2(Y, X)}}{S_x}}\label{c}\tag{3} \end{align}
Me trató de ampliar la $\Cov(Y, X)$ plazo y a la izquierda $SSE$ $SSX$ términos en $\ref{c}$, pero no hay ningún proceso adicional.
Me pregunto cómo continuar a partir de $\ref{c}$, o mi dirección inicial de la prueba no es correcta?
