Lo que demuestra esta convergencia de la serie

Question

El siguiente teorema es en Rudin los Principios de Análisis Matemático, 8.2:

Supongamos $c_n \geq 0$ $S = \sum c_n$ converge. Poner $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$. Mostrar que

$$ \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n. $$

Rudin va a dar un algo que participan prueba utilizando Abel Suma. Me pregunto por qué esto es necesario, ¿por qué no sólo este argumento?

"La prueba:" Recoger " $N$ tal que $\sum_{n > N} c_n < \epsilon$. Pick $r$ tal que $1-r^N < \epsilon/S$. Entonces tenemos

$$ \sum_{n=0}^{\infty} c_n - \sum_{n=0}^{\infty} c_nr^n = \sum_{n=0}^N c_n(1-r^n) + \sum_{n>N} c_n(1-r^n) < 2 \epsilon. $$

Brevemente, Rudin del método implica el uso de Abel suma y, a continuación, la delimitación de la nueva secuencia de sumas parciales, que parece un menor enfoque natural para mí. ¿Alguien tiene una razón de por qué lo hizo?

Answer 1

Estoy de acuerdo de todo corazón con Qiaochu: el caso en que todos los términos son no negativos es un caso trivial del Teorema de Abel. Este sale en mi Abel Teorema de estas notas en un título de clase de análisis enseñé hace un par de años.

Tenga en cuenta que puedo empezar por dar exactamente la prueba de Rudin (¿por qué no?). Después de que tengo algunos discusión de "Abel suma" y las aplicaciones de este resultado. Nota, en particular, el Ejercicio 40: una serie con los no-términos negativos es Abel-summable iff es convergente en el sentido usual de la palabra.

También podría ayudar a ver algunas aplicaciones típicas de Abel del Teorema, que no son convergentes de la serie. En mis notas, la primera vez que uso para demostrar que si el producto de Cauchy de dos convergente la serie converge, entonces converge al valor esperado, es decir, el producto de la suma de dos. Tenga en cuenta que antes, en mis notas me había demostrado que cuando al menos uno de los dos de la serie es absolutamente convergente el producto de Cauchy necesariamente converge al valor esperado, considerando que no hay ejemplos de la divergencia de Cauchy productos de dos nonabsolutely convergente la serie. Entonces yo uso del Teorema de Abel para justificar el "cálculo de identidad"

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$.

En ambos casos el ajuste de la no-convergencia absoluta.

No he mirado hacia atrás en mi copia de Rudin, pero estoy dispuesto a creer que él no menciona explícitamente la importancia de la no-convergencia absoluta aquí. Si es así, este es un ejemplo de su libro ser un poco demasiado lacónica de los ojos.

Añadido: Bueno, yo sólo me miraba, Rudin del libro. Primero, él también sigue la instrucción, y la prueba del teorema con la aplicación de Cauchy productos (qué casualidad...). Segundo; es verdad: él realmente debería golpear un poco más el punto de que el contenido se presenta cuando las condiciones no son todos no negativos, y por otro lado, cuando la serie no es absolutamente convergente. (Sin embargo, el Capítulo 8 es por lejos mi favorito en Rudin del libro: un montón de clásicos contenido está cubierto en un lugar muy limpio, de manera eficiente.)

Answer 2

En mi copia de Rudin no hay ninguna suposición de que $c_n \ge 0$, y la prueba falla si no se puede asumir que $\sum c_n$ converge absolutamente.

De hecho, el poder de este teorema es, precisamente, que se aplica en situaciones donde $\sum c_n$ ¿ no converge absolutamente. Por ejemplo se aplica a $\arctan x = x - \frac{x}{3} + \frac{x}{5} \mp ... $ a dar la fórmula clásica $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \mp ...$.

Answer 3

Lo Qiaochu menciona es ciertamente correcta, y probablemente la verdadera razón. Pero aquí es otra posibilidad (lo que originalmente me respondió):

Supongamos que $f(x)$ es una función compleja en la unidad de disco. Tu prueba, mientras que bonito y rápido para la línea real, no parece funcionar para cualquier límite dentro del disco. Es decir, secuencias de la forma$z_i$$|z_i|<1$$z_i\rightarrow 1$. Sin embargo, la prueba en Rudin no funciona en este caso, y no se basa en la suposición de que $x$ es real. (Las dos últimas líneas, pero puede ser modificado para el caso complejo, simplemente poniendo en valores absolutos.)

Espero que ayude,