He estado pensando en un ejemplo de algún conjunto con una operación binaria que satisfaga todos los axiomas de los grupos excepto la asociatividad. Soy nuevo en la Teoría de Grupos, por lo que agradecería su conocimiento.
Mi ejemplo:
$S={\mathbb{C} - \{0\}}$ ; $H = (S, \text^)$ donde ^ es la exponenciación. ¿Podemos considerar esto como un ejemplo correcto? La identidad bajo ^ parece ser 1. La inversa parece ser $\frac{2i\pi}{\ln(x)}$ .
El objeto que está describiendo se llama bucle . Si quiere un ejemplo de gran potencia que quepa en un solo bocado, pruebe el multiplicativo grupo bucle de no-cero octonions . Como alternativa más elemental, he pensado en darte un bucle finito para que reflexiones (aunque puede que tengas que trabajar un poco para verificar todas las propiedades). Presento Bucle 8.1.4.0 :
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|} \circ& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline 1 & 1 & 7 & 5 & 0 & 6 & 2 & 4 & 3\\\hline 2 & 2 & 6 & 7 & 5 & 0 & 3 & 1 & 4\\\hline 3 & 3 & 0 & 6 & 7 & 5 & 4 & 2 & 1\\\hline 4 & 4 & 5 & 0 & 6 & 7 & 1 & 3 & 2\\\hline 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 7 & 0 & 6\\\hline 6 & 6 & 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 7 & 5\\\hline 7 & 7 & 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 0\\\hline \end{array}$$
Aquí $0$ es la identidad, y las inversas son $0,3,4,1,2,6,5,7$ para $0\dots7$ respectivamente. Considere $1\circ 1\circ 2$ para mostrar la no asociatividad y $1\circ 2$ para la no conmutatividad.
Lo anterior es en realidad un ejemplo de bucle Bol, que satisface la propiedad de asociatividad débil más complicada $a(b(ac))=(a(ba))c$ . Para los bucles generales, hay ejemplos más pequeños; el bucle no asociativo más pequeño tiene el orden $5$ - aquí está uno de ellos:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \circ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline 1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 3\\\hline 2 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0\\\hline 3 & 3 & 0 & 1 & 4 & 2\\\hline 4 & 4 & 2 & 3 & 0 & 1\\\hline \end{array}$$
Nótese que esto no tiene inversos de dos lados, ya que tenemos identidades como $1\circ 2=0$ y $3\circ 1=0$ para que la inversa izquierda de $1$ es $2$ y la inversa de la derecha es $3$ . Para la no asociatividad basta con considerar $1\circ 1\circ 1$ (este bucle ni siquiera es asociativo en potencia).
Para el bucle de Bol en la parte inferior, ya que los inversos izquierdo y derecho son generalmente diferentes, esto no sería un grupo incluso si fuera asociativo. Para el bucle 8.1.4.0, parece que se cumplen todas las propiedades (excepto la asociatividad).
Pero me pregunto si existe un conjunto con una operación binaria que satisfaga todos los axiomas de grupo, excepto la asociatividad, que pueda escribirse en una notación de conjunto corta.
@secuencia Obsérvese que no tiene mucho sentido hablar de "esto no sería un grupo aunque fuera asociativo" para un ejemplo concreto, porque o es asociativo o no lo es - no existe "si <ejemplo no asociativo X> fuera asociativo", que es una hipótesis explícitamente contradictoria. Si consideras añadir el axioma de asociatividad a los demás, en general, entonces lo de las inversiones a la izquierda/derecha desaparecería al mismo tiempo - un bucle asociativo es un grupo, es decir, no hay bucles con asociatividad pero no con inversiones a dos lados.
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$1$ no es una identidad para ^ porque aunque $x^1=x$ , $1^x=1\ne x$ es decir, es una identidad derecha pero no una identidad izquierda. De hecho ^ no tiene identidades de dos lados.
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¿Significa esto que aunque H fuera asociativo, no sería un grupo?
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La asociatividad se utiliza como parte de la prueba de que una identidad izquierda es una identidad derecha y una inversa izquierda es una inversa derecha. Sin la asociatividad hay que comprobar ambas cosas.
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Sugerencia: busque bucles .
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Incluso si asumimos que el elemento de identidad es de dos caras, no es seguro que los inversos sean también de dos caras. Un cuadrado latino normalizado es un ejemplo de bucle finito (operación "grupal" no asociativa).
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@hardmath En realidad, un cuadrado latino sólo te da un cuasigrupo - a eso hay que añadir la comprobación de una identidad, que corresponde a que las columnas superior e izquierda coincidan con las cabeceras de una tabla de Cayley, como en mi ejemplo.
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@MarioCarneiro: Por normalizado Cuadrado latino Me refiero precisamente a eso, a la primera fila y columna permutadas en orden ascendente, es decir, que coincidan con los títulos de las filas y columnas.
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@hardmath Ya veo, estaba pensando que eso significaba algún tipo de reescalado o algo así que no tenía ningún sentido. Por supuesto, si empiezas demasiado pequeño existe el peligro de que tu bucle acabe siendo accidentalmente un grupo - creo que el ejemplo de mi respuesta es mínimo, ya que la misma fuente menciona un resultado de R.P. Burn en la línea de "un bucle de tamaño $2p$ o $p^2$ es un grupo".
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La exponenciación ni siquiera está bien definida en los números complejos no nulos.
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@QiaochuYuan Puede ser. No será muy bonito (continuo, digamos), pero no es que busque una operación bien llevada con muchas identidades, sino todo lo contrario.