Valores propios semienteros del momento angular orbital

Question

¿Por qué excluimos los valores semienteros del momento angular orbital? Para mí está claro que un operador de momento angular sólo puede tener valores enteros o semienteros. Sin embargo, no está claro por qué el momento angular orbital sólo tiene valores propios enteros. Por supuesto, cuando hacemos los experimentos confirmamos que una función de onda escalar y armónicos esféricos enteros son suficientes para describir todo. Algunos libros, sin embargo, intentan explicar teóricamente la exclusión de los valores semienteros. Griffiths evoca el argumento del "valor único", pero escribe que el argumento no es tan bueno en una nota a pie de página. Shankar dice que el $L_z$ El operador sólo es hermitiano cuando el número cuántico magnético es un número entero, pero su argumento no me resulta tan convincente. Gasiorowicz argumenta que los operadores de escalera no funcionan correctamente con valores medio enteros. Hay algunos artículos de bajo impacto (la mayoría son antiguos) que discuten estos temas, aunque son un poco confusos.

Así que, básicamente, mi pregunta es: ¿Alguien tiene un argumento decisivo sobre por qué excluimos los valores medio enteros del espectro del operador orbital?

Answer 1

Al resolver la ecuación de Schrodinger para campos de fuerza centrales (por ejemplo, el átomo de hidrógeno), se suelen separar las variables utilizando coordenadas esféricas. El resultado de la ecuación dependiente del ángulo es $$\frac{\Phi(\phi)}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}) +\frac{\Theta(\theta)}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Theta(\theta)}{d\phi^2}+\ell(\ell+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=0$$

EDIT: El parámetro $\ell$ es un parámetro de separación de la ecuación diferencial parcial para el SWE. Aparece tanto en la parte radial como en la angular. Las soluciones de la ecuación radial divergen $r \to \infty$ si $\ell$ no es un número entero. Echa un vistazo a las funciones de Laguerre y/o a la sección de Física Matemática de Arfken en el SWE.

Si $\ell$ es un número entero, la función radial desaparecerá como $r \to \infty$ que se requiere para una solución físicamente significativa. Esto significa que las soluciones angulares también deben tener números enteros $\ell$ y serán las funciones de Legendre asociadas: $\Theta(\theta) = P^m_{\ell}(\cos\theta) $ , donde $m$ es la constante de separación para el $\Phi(\phi)$ solución. Finalmente, estas dos soluciones angulares forman los armónicos esféricos, $Y^m_{\ell}(\theta,\phi)$ .

Los armónicos esféricos son las funciones propias del cuadrado del operador de momento angular de la mecánica cuántica.

En resumen, si $\ell$ no es un número entero, no hay soluciones convergentes y físicamente realizables para el SWE. Los valores medio enteros no dan soluciones radiales evanescentes.

Answer 2

Ya había respondido a esta pregunta, pero mi respuesta tenía un fallo fatal. Esto debería ser correcto.

En primer lugar, tenemos que hacer una demanda física. Exigimos que una rotación por $2\pi$ de espacial configuración (distinta de una configuración interna, es decir, el espín) deja la física invariante. A partir del estudio del primer grupo de homotopía $Z_2$ sabemos que, en general, hay dos posibilidades para una rotación por $2\pi$ (esto se suele estudiar en el contexto de la cuantización topológica): $R(2\pi)=1$ y $R(2\pi)=-1$ . Para $R$ para ser un físico espacial rotación, exigimos $R(2\pi)=1.$ Sin embargo, el operador de rotación en el $x-y$ el avión es $R=\exp(-i\theta L_z)$ donde $L_z|\psi\rangle=m|\psi\rangle$ . Por lo tanto, necesitamos $\exp(-2\pi im)=0$ . Esto sólo se resuelve con $m\in\mathbb{Z}$ que, por las reglas de los operadores de escalera, implica $l\in\mathbb{Z}$ .

Answer 3

Definimos el estado de momento angular básico por la acción del $z$ -operador de momento angular de componente $L_z$ y el operador de momento angular total al cuadrado $L^2=\sum_{i=1}^3L_iL_i$ : $$L_z|l,m\rangle=m|l,m\rangle\quad\text{and}\quad L^2|l,m\rangle=l(l+1)|l,m\rangle$$ Como probablemente sepa, definimos los operadores de subida y bajada $$L_\pm=L_x\pm iL_y$$ que actúan sobre los estados como $$L_\pm|l,m\rangle=\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}|l,m\pm1\rangle$$ Ahora demostramos que sólo los valores propios enteros tienen sentido por contradicción. Digamos que medimos el momento angular a lo largo de la $z$ -eje. Decimos que la partícula está en reposo si $m=0$ . Utilizando los operadores de subida y bajada, obtenemos los habituales $-l,-l+1,\dots,l-1,l$ espectro. Supongamos, sin embargo, que realizamos la medición $$L_z|l,m\rangle=\tfrac{1}{2}|l,m\rangle$$ Sin embargo, esto no tiene sentido. Parece que, al ir en pasos enteros, no podemos hacer que la partícula esté en reposo. Se trata del momento angular intrínseco, es decir, del espín. Si queremos que la partícula pueda tener un $m=0$ estado a lo largo del $z$ -eje, el momento angular orbital debe ser cuantificado entero.

Answer 4

Lo excluimos porque al hacerlo coincide con el experimento. Pero mediante un montón de canciones y bailes se puede argumentar que el operador de momento angular que entra en el Hamiltoniano es un vector después de todo, y los vectores se transforman bajo representaciones enteras de SU(2) en lugar de medios enteros.

En cuanto a la unipolaridad de la función de onda, bueno, si $\psi$ saltó discontinuamente en algún ángulo, entonces el operador de momento angular sería infinito en ese punto. Así, $psi$ no sería realmente una función propia.

Answer 5

Consideremos el caso más sencillo, el movimiento en un potencial esféricamente simétrico. El Hamiltoniano se convierte en,

$$-\frac {\hbar^2}{2m}\left[\frac {1}{r^2} \frac {}{r} \left(\frac {r^2}{r}\right) + \frac {1}{r^2\sin\theta} \frac {}{\theta} \left(\sin\theta \frac {}{\theta}\right) + \frac {1} {r^2\sin^2\theta}\frac {^2}{\phi^2}\right] + V(r)$$

No hay nada en este hamiltoniano que insinúe que en la rotación de la solución por $2\pi$ la función de onda debe cambiar de signo.