Básica Axiomático Definiciones de las Categorías y Alegorías (Freyd y Scedrov)

Question

Me gustaría preguntar acerca de las Definiciones Básicas al comienzo de las Categorías y Alegorías. Algunos aspectos del texto son idiosincrásicos, así que primero voy a citar el texto:

1.1 DEFINICIONES BÁSICAS

La teoría de CATEGORÍAS es dada por dos operaciones unarias y binarias parcial de la operación. En la mayoría de los contextos de menor caso de las variables se utilizan para 'individuos' que se llaman morfismos o mapas. Los valores de las operaciones que se indican y se pronuncia como: \begin{align} \square x &&\mbox{the source of x,}\\ x \square &&\mbox{the target x,} \\ xy && \mbox{the composition of x and y.} \end{align}

Los axiomas: \begin{align} xy && \mbox{is defined iff} && x\square = \square y, \\ (\square x)\square = \square x && \mbox{and} && \square(x \square)=x\square, \\ (\square x)x = x && \mbox{and} && x(x\square)=x, \\ \square(xy) = \square(x(\square y)) && \mbox{and} && (xy)\square = ((x\square)y)\square, \\ x(yz) = (xy)z. \end{align}

1.11 El ordinario de la igualdad signo = se utiliza sólo en el simétrica sentido, es decir: si cualquiera de las partes está definido, entonces también lo es el otro y son iguales. Una teoría que, como este, construido en una lista ordenada de las operaciones parciales, el dominio de definición de cada una de las dadas por las ecuaciones de la anterior, y con todos los demás axiomas ecuacionales, se llama ESENCIALMENTE TEORÍA ALGEBRAICA.

-- Mi primera pregunta es: ¿Qué es un binario parcial de la operación? He tratado de buscar otros lugares para la definición, pero la mayoría de lo que veo (en línea) se da en el contexto de discusiones técnicas, sumidos en la más terminología. Hay una ruta accesible a esta noción?

Segundo: en Cuanto a los axiomas, estoy teniendo dificultad para la interpretación de algunos de estos. Por ejemplo, cómo ver los $(\square x)x = x$ ? Bien, $\square x$ se define como la fuente (dominio) de los morfismos $x$. Pero ¿qué significa esta expresión para sentarse delante de $x$. Tal vez la solución es suspender los prejuicios (como la teoría de conjuntos y funciones) y seguir leyendo.

Por último: Como leer la definición de la esencia teoría algebraica, estoy tratando de ver qué tipo de teoría no califican como esencialmente algebraicas. Similar a la primera pregunta, hay un accesibles cuenta de lo que la empresa aquí?

He leído en alguna parte que el texto fue diseñado para ser auto-contenida. Los requisitos previos establecidos (más allá de la sofisticación, sin duda) son "básicos de topología y álgebra..." Que mi modesta de fondo (munkres, herstein/artin). Quizás debería interpretar como una sugerencia para que acabo de leer, a pesar de términos no definidos como "operación parcial", que luego son utilizados en apretadas definiciones (como "esencialmente teoría algebraica").

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Una operación binaria en una clase de $S$ es una función de $S \times S \to S$. Un binario parcial de la operación parcial de la función $S \times S \to S$. Es decir, puede ser expresada como una función de $D \to S$ para algunos subclase $D \subseteq S \times S$.

Por ejemplo, la multiplicación es un operador binario, y la división es un binario parcial del operador en los números reales.

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Este es el "flechas sólo" definición de una categoría. En esta formulación, no hay tal cosa como un "objeto" en el nivel más bajo; todo es cuestión de flechas. Como tal, $\square x$ es una flecha, y por lo tanto $(\square x)x$ es la composición de dos flechas $\square x$$x$.

En este formalismo, cuando se introduce la noción de "objeto", definimos un objeto a ser una identidad de morfismos. Los axiomas muestran que $\square x$ es, de hecho, una identidad de morfismos.

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Esencialmente algebraicas teorías son una generalización universal de álgebras; el sabor es todavía de que se siguen las teorías de funciones y son axiomatized en términos de identidades algebraicas.

La teoría de un campo no es esencialmente algebraicas: la clave de un error en la formulación habitual es la necesidad de definir la clase de todos los números distintos de cero (por ejemplo, para afirmar que dicha clase es el dominio de la inversión del operador), el cual no puede ser realizado a través de ecuaciones.