Estaba leyendo algo acerca de hace una semana y hay una línea que dice algo en el sentido de "el espacio de los polinomios es denso en $L^{2}(\mathbb{R})$" y, a continuación, hay otra línea que dice que $L^{2}(\mathbb{R})$ es la culminación de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$. Estoy totalmente de entender por qué ambas son verdaderas para $L^{2}([a,b])$ pero me siento cerca de la certeza de que esta debe ser malo para $L^{2}(\mathbb{R})$. Por ejemplo, tomar algún polinomio decir, $x^{2}$ y, a continuación, $$ \int_{\mathbb{R}} \left(\lvert x^{2}\rvert \right)^{2} \, dx = \infty $$ y alguna función continua con la ayuda infinita $$ \int_{\mathbb{R}} \lvert \mathbb{1}_{[0,\infty)}(x) \rvert^{2} \, dx=\infty $$
Así que me estoy perdiendo algo o fue solo un descuido de error por parte del autor? También, si esto es falso, ¿cómo, entonces, para $L^{2}(\mathbb{R})$ (o cualquier $L^{p}$ más de espacio que en $\mathbb{R}$) son estos "agujeros" lleno?
