$H(\kappa)$ un modelo de todos los axiomas de ZFC para $\kappa$ no inaccesible

Question

Es esto posible?

Para cada cardenal $\kappa$, podemos definir a la $H(\kappa) = \{ x \mid |trclx| < \kappa\}$, donde trcl es el cierre transitivo, y $|A|$ es la cardinalidad de a $A$. Por cada cardenal, y cualquier axioma $\phi$ de ZFC aparte de el axioma del infinito y el poder conjunto de axiomas, tenemos $H(\kappa) \models \phi$.

Además, tenemos una tasa de Reflexión Principio en el sentido de que para cualquier fórmula expressable en ZFC $\phi$, tenemos que:

$\forall \alpha \in ON \ \exists \beta \in ON [\beta \geq \alpha \text{ and } \phi \text{ is absolute for } R(\beta)]$

Donde $R(\beta)$ es el acumulado de la jerarquía.

Como una tarea de ejercicio, estoy a estado un principio correspondiente a $H(\beta)$, y para abordar la siguiente pregunta: ¿es posible que cuando aplicamos el principio de que el poder conjunto de axiomas, que tenemos un modelo de ZFC $H(\kappa)$ $\kappa$ que no es inaccesible?

La inaccesibilidad aquí se entiende por normal más inalcanzable a través de conjuntos de poder (si $\alpha < \kappa$,$|P(\alpha)| < \kappa$).

Mis pensamientos: desde $H(\kappa)$ es un modelo de el juego de poder axioma, va a ser cerrado bajo el poder conjunto de la operación y por tanto tenemos $P(\alpha) < \kappa$ por cada $\alpha < \kappa$. Como por la regularidad, si asumimos que no es regular, entonces tenemos un cofinal subconjunto de cardinalidad menor que $\kappa$. Cada elemento será en $H(\kappa)$, por lo que tenemos un conjunto de subconjuntos de a $H(\kappa)$ indexados por un conjunto en $H(\kappa)$. Así que quiero decir que la unión debería estar en $H(\kappa)$, lo cual es una contradicción (si es en $H(\kappa)$ debe tener cardinalidad menos de $\kappa$, pero la unión de este conjunto debe tener cardinalidad $\kappa$. Pero no estoy seguro de si se puede demostrar que la unión está realmente en $H(\kappa)$.

Answer 1

Pregunta: ¿Es coherente que $H(\kappa)\vDash ZFC$ aunque $\kappa$ no es inaccesible?

Respuesta: sí. Deje $\kappa$ ser inaccesible. Dentro de $V_\kappa$ podemos adaptar el argumento habitual de reflexión para mostrar:

Teorema: Existe un club de $C\subseteq \kappa$ tal que $\forall\alpha\in C(H(\alpha)\prec V_\kappa)$ (es decir, $H(\alpha)$ es una primaria de la subestructura de $V_\kappa$).

Claramente, para cada uno de dichos $\alpha$, $H(\alpha)\vDash ZFC$. Pero desde los ordinales por debajo de $\kappa$ con los compañeros de la firmeza de la $\omega$ son del club, habrá club de $\alpha$ tal que $H(\alpha)\vDash ZFC$ que no son inaccesibles.

Pregunta: ¿hay $H(\kappa)$ modelo $ZFC - Replacement + \neg Replacement$?

Respuesta: sí. Podemos definir el beth función de $\beth_\alpha$ tal que $\beth_0 = 0$, $\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}$, y $\beth_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda}\beth_\alpha$. Por recursión, podemos definir $\kappa_0 = \omega$, $\kappa_{n+1}$ para ser el ordinal tal que para todo $\beta<\kappa_\alpha$, $\beth_\beta< \kappa_{n+1}$, y $\kappa_\omega = \bigcup\kappa_n$. A continuación, $\kappa_\omega = \beth_{\kappa_\omega}$, y por lo $H(\kappa_\omega) \vDash ZFC - Replacement$. Pero puesto que el $\kappa_n$ son definibles, la sustitución se producirá en $H(\kappa_\omega)$.