Fuerza de atracción de los puntos fijos

Question

Consideremos un mapa suave $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con un punto fijo de atracción $F$ . Entonces, tenemos

• si $f'(F) \ne 0$ , $F$ es un punto fijo de atracción "simple" ,
• si $f'(F) = 0$ , $F$ es un punto fijo superatractivo ,
• si $f^{(k)}(F) = 0$ para $1 \le k \le n$ podemos decir $F$ es superatracción del orden $n$ ,
• si $f^{(k)}(F) = 0$ para todo $k \ge 1$ Podríamos llamar a $F$ a punto fijo mega-atractivo (No creo que sea una terminología "estándar", pero me gusta).

Ejemplos:

• $f(x) = \frac{\sin(x)}{2}$ tiene un punto fijo de atracción simple en $0$ ,
• $f(x) = x^2$ tiene un punto fijo superatractivo en $0$ ,
• $f(x) = x^k$ , $k > 1$ tiene un punto fijo superatractivo de orden $k-1$ en $0$ ,
• $f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{if } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{if } x = 0\end{cases}$ tiene un punto fijo mega-atractivo en $0$ pero no es una función constante.

¿Cuáles son los límites superior e inferior de la "tasa" de atracción de cada clase, y cuál es la prueba? Supongo que la "fuerza" de atracción máxima absoluta de un punto fijo megaatrayente, y por tanto de todos los puntos fijos, es la fuerza del megaatrayente de una función constante, pero ¿qué pasa con los mínimos, y qué pasa con las otras clases?

Además, ¿existe una generalización de estos conceptos a los flujos continuos, y a conjuntos de atracción más complicados?

Answer 1

Como señaló ioannis galidakis, la "tasa de atracción" tiene un significado concreto en el análisis numérico, que es la asintótica de la diferencia $|x_n-F|$ donde $x_n$ es una secuencia tal que $x_n\to F$ y $x_n=f(x_{n-1})$ para $n>1$ . En términos prácticos, ayuda a centrarse en el logaritmo de la diferencia, $$D_n=|\log |x_n-F||$$ que corresponde aproximadamente al número de dígitos de $x_n$ que son iguales a los dígitos de $F$ . (Esto es de evidente interés cuando $F$ es una raíz de una ecuación que estamos tratando de resolver).

• El punto fijo de atracción simple tiene $|x_n-F| \approx |f'(F)||x_{n-1}-F|$ . Por lo tanto, $D_n$ crece linealmente con $n$ .
• Punto fijo superatractivo de orden $k$ tiene $|x_n-F| \approx |c_{k+1}| |x_{n-1}-F|^{k+1}$ donde $c_{k+1}$ es el primer término no nulo de la expansión de Taylor de $f(x)-F$ . Por lo tanto, $D_{n}$ crece exponencialmente, $D_n\approx (k+1)^n$ .
• Mega-atracción: de acuerdo con lo anterior, $D_n$ crece más rápido que cualquier exponencial, es decir, tiene un crecimiento superexponencial.

No existe un límite superior para el crecimiento de $D_n$ en el caso de la mega-atracción. En efecto, dada una secuencia monótona rápidamente convergente $x_n\to 0$ podemos construir un $C^\infty$ de tal manera que $f(x_n)=x_{n+1}$ para todos $n$ . (Utilice protuberancias lisas disjuntas de altura $x_{n+1}$ apoyado cerca de cada $x_n$ . Para la derivada de orden $k$ para tener el límite cero en el origen, necesitamos $(x_n-x_{n+1})^k x_{n+1} \to 0$ como $n\to\infty$ . Esto se cumple para cada $k$ proporcionado $x_n$ va a cero con la suficiente rapidez).