Hay varias maneras de interpretar esta pregunta. Voy a utilizar (principalmente) la siguiente interpretación: Por cada
(abierto) complementario intervalo de $I_j$ de la norma conjunto de Cantor $C\subset J=[0,1]$ lo considera canónicos (cada vez mayor) afín bijection $f_j: I_j \to I=(0,1)$. Definir $C_j:= f_j^{-1}(C)$ (tenga en cuenta que este subconjunto es que no se cierra en $J$, sin embargo, se convierte en cerrado si añadimos a esto el punto final del intervalo de $I_j$, que son elementos de $C$). A continuación, defina
$$
K:= C\cup \bigcup_{j} C_j.
$$
Lema. El conjunto $K$ es cerrado en $J$.
Prueba. Vamos a identificar el complemento de $U=J\setminus K$. Es la unión de los conjuntos
$$
U_j= I_j\setminus C_j
$$
cada uno de los cuales está abierto en $J$ ($C_j$ es cerrado en $I_j$ $I_j$ está abierto en $J$). Tenga en cuenta que el hecho de que $C_j$ no está cerrado en $J$ es irrelevante aquí. Por lo tanto, $J\setminus K$ es abierto y, por lo tanto, $K$ es cerrado en $I$. qed
Tenga en cuenta que, por construcción, $K$ es también un perfecto totalmente desconectado conjunto, por lo tanto, $K$ es homeomórficos a $C$.
Aquí hay otra posible interpretación de la pregunta: En el paso 1 aplicar la construcción para el estándar del conjunto de Cantor $C$ y denotar el conjunto resultante $K_1\subset J$. Ahora, aplique la misma construcción a $K_1$ y obtener un nuevo conjunto $K_2$, etc. Uno, por lo tanto, se obtiene un aumento de la unión de los conjuntos de $K_m$ cada homeomórficos para el conjunto de Cantor. Ya que la longitud máxima de los complementos de los intervalos de a $K_m$ tiende a cero, como se $m\to \infty$, la unión
$$
K_\infty= \bigcup_{m} K_m
$$
es denso en $[0,1]$. Por otro lado, $K_\infty$ ha vacío interior (del teorema de Baire). Por lo tanto, $K_\infty$ no está cerrado.
