Demostrando un conjunto a ser cerrado

Question

Denotar por $C_{[0,1]}$ el ternario conjunto de Cantor en $[0,1]$. Ahora considere el $[0,1] \setminus C_{[0,1]}$. Contiene abrir intervalos. Ahora definir conjuntos de Cantor en todos estos intervalos abiertos por la mera traducción y la dilatación de la norma conjunto de Cantor. Denotar como $C_{[a_i,b_i]}$. Ahora es el conjunto $F=C_{[0,1]} \cup \bigcup C_{[a_i,b_i]}$ cerrado?

Yo: quería mostrar que su complemento es abierto. He argumentado que el complemento de F consiste en abrir los intervalos. Por lo $F^c$ se compone de los sindicatos de intervalos abiertos. Por lo tanto $F$ es cerrado. Pero mi profesor dice que no es así. ¿Puede alguien por favor decirme donde estoy pasando mal. Gracias

Answer 1

Hay varias maneras de interpretar esta pregunta. Voy a utilizar (principalmente) la siguiente interpretación: Por cada (abierto) complementario intervalo de $I_j$ de la norma conjunto de Cantor $C\subset J=[0,1]$ lo considera canónicos (cada vez mayor) afín bijection $f_j: I_j \to I=(0,1)$. Definir $C_j:= f_j^{-1}(C)$ (tenga en cuenta que este subconjunto es que no se cierra en $J$, sin embargo, se convierte en cerrado si añadimos a esto el punto final del intervalo de $I_j$, que son elementos de $C$). A continuación, defina $$K:= C\cup \bigcup_{j} C_j.$$

Lema. El conjunto $K$ es cerrado en $J$.

Prueba. Vamos a identificar el complemento de $U=J\setminus K$. Es la unión de los conjuntos $$U_j= I_j\setminus C_j$$ cada uno de los cuales está abierto en $J$ ($C_j$ es cerrado en $I_j$ $I_j$ está abierto en $J$). Tenga en cuenta que el hecho de que $C_j$ no está cerrado en $J$ es irrelevante aquí. Por lo tanto, $J\setminus K$ es abierto y, por lo tanto, $K$ es cerrado en $I$. qed

Tenga en cuenta que, por construcción, $K$ es también un perfecto totalmente desconectado conjunto, por lo tanto, $K$ es homeomórficos a $C$.

Aquí hay otra posible interpretación de la pregunta: En el paso 1 aplicar la construcción para el estándar del conjunto de Cantor $C$ y denotar el conjunto resultante $K_1\subset J$. Ahora, aplique la misma construcción a $K_1$ y obtener un nuevo conjunto $K_2$, etc. Uno, por lo tanto, se obtiene un aumento de la unión de los conjuntos de $K_m$ cada homeomórficos para el conjunto de Cantor. Ya que la longitud máxima de los complementos de los intervalos de a $K_m$ tiende a cero, como se $m\to \infty$, la unión $$K_\infty= \bigcup_{m} K_m$$ es denso en $[0,1]$. Por otro lado, $K_\infty$ ha vacío interior (del teorema de Baire). Por lo tanto, $K_\infty$ no está cerrado.