En realidad es un rompecabezas que me dieron en clase de Física.
Alguien dice que la ley de Gauss es en realidad un ejemplo concreto de la famosa fórmula de Newton-Leibniz, pero no he podido pillarlo.
Hasta ahora no he aprendido nada sobre cálculo multivariable, así que quizá necesite una explicación más sencilla~
Observación : Ley de Gauss: un enlace
La pregunta parece referirse a una conexión entre (parte de) el teorema fundamental del cálculo y el teorema de Stokes en $n$ -espacio dimensional.
Si la función de valor real $f(x)$ tiene una antiderivada $F$ en $[a,b]$ es decir $f(x) = F'(x)$ entonces $\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).$ Más sugestivamente, \begin{equation*} \int_a^b F'(x) d x = F(b) - F(a),\tag{1} \end{equation*} la integral de la derivada sobre el intervalo puede hallarse conociendo sólo el valor de la función en la frontera del intervalo.
El teorema de Stokes es un generalización , \begin{equation*} \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\tag{2} \end{equation*} Este teorema dice que podemos encontrar la integral de la derivada exterior de la forma $\omega$ sobre el $n$ -dimensional $M$ integrando la forma sobre la frontera $\partial M$ del colector. Si no sabes lo que es un formulario, no importa. Es nuestra $F$ . Y $d$ es nuestra derivada. Y $M$ es nuestro volumen. La ecuación (2) es totalmente análoga a (1), estamos hallando la suma de la derivada de algún objeto sobre un volumen conociendo sólo el valor de ese objeto en la frontera. Una respuesta apropiada a este resultado es el asombro.
Cuando decimos que el teorema de Stokes es una generalización de (1) queremos decir que para $n=1$ es (1). (1) es un caso especial. Otro caso especial del teorema de Stokes es el teorema de la divergencia en el espacio tridimensional, $$\oint_V \nabla\cdot {\bf F}\, dV = \oint_{\partial V} {\bf F}\cdot d{\bf S}.$$ Si sigues en física aprenderás muy bien este y otros resultados relacionados en cálculo multidimensional en un buen curso de electromagnetismo. En lugar de decir más sobre el teorema de la divergencia, damos a continuación un resumen de las analogías importantes entre los diversos teoremas.
$$\begin{array}{llcccccc} & \textrm{Theorem} & \textrm{Dimension} & \textrm{Object} & \textrm{Derivative} & \textrm{Volume} & \textrm{Surface} \\ \hline \textrm{Stokes'} & \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega & n & \omega & d\omega & M & \partial M \\ \\ \textrm{Fund. Thrm.} & \int_a^b F'(x) d x = F(b) - F(a) & 1 & F(x) & F'(x) & [a,b] & a,b \\ \\ \textrm{Divergence} & \oint_V \nabla\cdot {\bf F}\, dV = \oint_{\partial V} {\bf F}\cdot d{\bf S} & 3 & {\bf F} & \nabla\cdot {\bf F} & V & \partial V \\ \end{array}$$
No es un "ejemplo concreto", sino que puede considerarse una extensión a dimensiones superiores. La fórmula de Newton-Leibniz da la integral de la derivada de una función en términos del valor de la función en la "superficie" de una recta (es decir, los puntos extremos).
Del mismo modo, el Teorema de divergencia (como se conoce en matemáticas a la Ley de Gauss), expresa la integral sobre la divergencia del campo eléctrico que es la densidad de corriente (vagamente una derivada 3D) en términos del valor del campo eléctrico en la superficie del volumen.
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