¿Por qué se definen los colectores lisos como paracompactosos?

Question

La forma en que entiendo las cosas, a grandes rasgos, la importancia de los colectores lisos es que forman la categoría de espacios topológicos en los que podemos hacer cálculos. La definición de los colectores lisos requiere que sean paracompact . He buscado por todas partes, pero no he encontrado una declaración clara de cómo la paracompacidad es una condición necesaria para hacer cálculos.

Entiendo que, por un teorema de la piedra, cada espacio métrico es paracompacto, pero tampoco estoy seguro de por qué necesitamos la metrizabilidad global.

Pregunta : ¿En qué sentido la paracompactación es exactamente la condición correcta para imponer a un múltiple topológico que nos permita hacer cálculos sobre él? ¿Existe algún teorema de la forma "X tiene [alguna estructura que necesitamos estrictamente en el cálculo] si y sólo si es paracompacta"?

Answer 1

Yo mismo he pensado un poco en esto, y creo que, desde el punto de vista del cálculo, un punto clave podría ser que un espacio localmente euclidiano tiene que ser paracompacto para ser completamente metrizable. Creo que una métrica completa es indispensable para cualquier intento de hacer cálculo, porque sin ella, los análogos de la IVT (que es una consecuencia directa de la completitud de los reales) y la MVT, y el Teorema de Stokes (¡si es que se puede formular!), fallarían.

Answer 2

Porque la paracompacidad es necesaria para demostrar la existencia de particiones lisas de la unidad subordinadas a cualquier cobertura abierta.

Por ejemplo, como se indica en Teorema 2.25 (Existencia de particiones de la unidad) en "Introduction to Smooth Manifolds" de Lee:

Si $M$ es un colector liso y $\mathcal X = \{X_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es cualquier cubierta abierta de $X$ existe una partición suave de la unidad subordinada a $\mathcal X$ .

EDIT: Se me ocurre que probablemente debería exponer también la definición de partición de la unidad (de antes en la misma página):

Ahora dejemos que $M$ sea un espacio topológico, y sea $\mathcal X = \{X_\alpha\}_{\alpha \in A}$ sea una cubierta abierta arbitraria de $M$ . A partición de la unidad subordinada a $\mathcal X$ es un conjunto de funciones continuas $\{\psi_\alpha: M \to \mathbb R\}_{\alpha \in A}$ con las siguientes propiedades:
(i) $0 \leq \psi_\alpha(x) \leq 1$ para todos $\alpha \in A$ y todos $x\in M$ .
(ii) $\operatorname{supp} \psi_\alpha \subset X_\alpha$ .
(iii) El conjunto de soportes $\{\operatorname{supp} \psi_\alpha\}_{\alpha\in A}$ es localmente finito.
(iv) $\sum_{\alpha\in A}\psi_\alpha(x) = 1$ para todos $x \in M$ .

A continuación, demuestra el lema de la extensión y la existencia de las funciones de choque, así como de las funciones de agotamiento.

Answer 3

A) Para un colector diferencial $X$ los siguientes son equivalentes:

a) X es paracompacto
b) X tiene particiones diferenciables de la unidad
c) X es metrizable
d) Cada componente conexo de X es segundo contable
e) Cada componente conectada de X es $\sigma$ -compacto

Las particiones de la unidad son una herramienta fundamental en toda la geometría diferencial (véase la respuesta de kahen) y bastarían para justificar estas condiciones, pero las otras propiedades equivalentes también pueden ser bastante útiles .

B) Sin embargo, también se han estudiado ocasionalmente las variedades no paracompactas. Por ejemplo:

1) En la dimensión $1$ usted tiene la larga cola se obtiene aproximadamente tomando el primer conjunto ordinal incontable y añadiendo segmentos abiertos $(0,1)$ entre sus puntos sucesivos.
2) En la dimensión $2$ existe una superficie diferenciable no paracompacta ( Prüfer y Radò). Sin embargo, toda superficie de Riemann, es decir, un colector holomorfo de dimensión compleja $1$ y, por tanto, la dimensión real $2$ es automáticamente paracompacto.
3) Calabi y Rosenlicht han introducido una variedad compleja de dimensión compleja $2$ que no es paracompacto .

Editar Como respuesta a la pregunta de Daniel en los comentarios más abajo, he aquí algunos ejemplos aleatorios de consecuencias de la existencia de particiones de la unidad en una variedad diferencial $M$ de dimensión $n$ .

$\bullet$ Si $M$ es orientable tiene un en todas las partes no evanescentes forma diferencial $\omega\in \Omega^n(M)$ de grado $n$ .
$\bullet$ Si $M$ está orientada se puede definir la integral $\int_M\eta$ de cualquier soporte compacto forma diferencial $\eta\in \Omega^n_c(M)$ de grado $n$ .
$\bullet$ El colector $M$ se puede dotar de una métrica riemanniana.
$\bullet$ Todo haz vectorial en $M$ es isomorfo a su haz dual.
$\bullet$ Todo subfondo de un haz vectorial en $M$ es un sumando directo.

Un punto de vista sofisticado (¡muy opcional!)
Todas las gavillas de $C^\infty_M$ -(por ejemplo los localmente libres, que corresponden a los haces vectoriales) son acíclicos en presencia de particiones de la unidad.
Esto tiene como consecuencia que las variedades paracompactas se comportan como las variedades algebraicas afines o las variedades de Stein en el sentido de que se les puede aplicar el análogo de los teoremas A y B de Cartan-Serre.
Esta es, en mi opinión, la razón profunda de la utilidad de las particiones de la unidad en un colector. (El último punto, por ejemplo, se inspira directamente en su análogo en variedades afines o en variedades de Stein)