La prueba de $(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup(B-A)$

Question

Yo estaba tratando de demostrar que $(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup(B-A)$, y se topó con problemas en la traducción (correspondiente a lo que hice con $\emptyset$) y consiguió a través de la prueba, pero fue dudar de su exactitud, así que si alguien puede por favor afirmar o negar su precisión que sería genial. También, supongo que hay mucho más corto maneras de probar esto y estaba pensando en cuáles son esas maneras puede ser y todo lo que podía venir fue establecer la construcción. Las ideas de los demás?

Mi prueba es como sigue:

Supongamos $x\in(A\cup B)-(A\cap B)$.

Por lo tanto $x\in(A\cup B):x\notin(A\cap B)$.

Por lo tanto $x\in A$ o $x\in B:x\notin A$ o $x\notin B$.

Esto nos presenta con 4 casos:

1. $x\in A:x\notin A$
2. $x\in A:x\notin B$
3. $x\in B:x\notin A$
4. $x\in B:x\notin B$

El caso 1 y el 4 $\emptyset$ sin embargo por lo que tenemos que $x\in\emptyset$ o $x\in A:x\notin B$ o $x\in B:x\notin A$ o $x\in\emptyset$ que es equivalente a $x\in\emptyset$ o $x\in(A-B)$ o $x\in(B-A)$ o $x\in\emptyset$. Que es el mismo que $x\in\emptyset\cup(A-B)\cup(B-A)\cup\emptyset$ Y ya que la unión de un conjunto vacío con cualquier conjunto X es el conjunto X en sí, tenemos $x\in(A-B)\cup(B-A)$, lo que muestra que $\forall x[x\in(A\cup B)-(A\cap B)\Rightarrow x\in(A-B)\cup(B-A)]$.

Alternativamente, supongamos que $x\in(A-B)\cup(B-A)$. Desde la unión de cualquier conjunto X es el conjunto X en sí, podemos decir que el $x\in\emptyset_1\cup(A-B)\cup(B-A)\cup\emptyset_2$ donde $\emptyset_1={x\in A:x\notin A}$ $\emptyset_2={x\in B:x\notin B}$ $x\in\emptyset_1$ o $x\in(A-B)$ o $x\in(B-A)$ o $x\in\emptyset_2$, lo $x\in [x\in A:x\notin A] $ o $x\in A:x\notin B$ o $x\in B:x\notin A$ o $x\in B:x\notin B$, por lo tanto $x\in A:x\notin A$ o $x\in A:x\notin B$ o $x\in B:x\notin A$ o $x\in B:x\notin B$, por lo $x\in A$ o $x\in B$, e $x\notin A$ o $x\notin B$ tal que $x\in(A\cup B)$$x\notin(A\cap B)$, lo que significa que $x\in(A\cup B)-(A\cap B)$.

Lo anterior se refleja en que $\forall x[x\in(A-B)\cup(B-A)\Rightarrow x\in(A\cup B)-(A\cap B)]$ y por lo tanto $(A-B)\cup(B-A)\subset(A\cup B)-(A\cap B)$ por la definición de un subconjunto.

Puesto que, como se mostró anteriormente, $(A\cup B)-(A\cap B)\subset(A-B)\cup(B-A)$$(A-B)\cup(B-A)\subset(A\cup B)-(A\cap B)$, por la definición de conjunto de la igualdad, $(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup(B-A)$.

Gracias!

Answer 1

Deje $x$$A \cup B$. A continuación, cualquiera de $x \in A$ y $x \not \in B$, $x \in A$ y $x \in B$ o$x\not \in A$$x \in B$.

Por lo tanto, si $x$$A \cup B$, pero no en $A \cap B$, $x$ $A - B$ o $B-A$. Viceversa, si $x$ $A - B$ o $B-A$,$x$$A \cup B$, pero no en $A \cap B$.

Voy a dejar que termine la prueba (sólo consiste en una frase).

Nota: es normal que lucha con ese tipo de pruebas en primera. Dibujar diagramas y trabajar duro hasta que usted realmente entender lo que está pasando.

Answer 2

Aquí está una comprensión diferente: $$\begin{align*} (A \cup B) - (A \cap B) &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\ &= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \quad (1)\\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \quad (2) \\ &=(A-B) \cup (B-A) \end{align*}$$

Si usted necesita ayuda para entender cómo ir de $(1) \to (2)$, hágamelo saber.
Sugerencia: Se sigue de $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Answer 3

Aquí está la manera de hacerlo por álgebra \begin{align} (A\cup B)-(A\cap B) &=(A\cup B)\cap(A\cap B)^c\tag{1} \\ &=(A\cup B)\cap(A^c\cup B^c)\tag{2} \\ &=((A\cup B)\cap A^c)\cup((A\cup B)\cap B^c)\tag{3} \\ &=((A\cap A^c)\cup(B\cap A^c))\cup((A\cap B^c)\cup(B\cap B^c))\tag{4} \\ &=(\varnothing\cup(B\cap A^c))\cup((A\cap B^c)\cup\varnothing)\tag{5} \\ &=(B\cap A^c)\cup(A\cap B^c)\tag{6} \\ &=(B-A)\cup(A-B)\tag{7} \\ &=(A-B)\cup(B-A)\tag{8} \end{align}

Aquí son básicos conjunto de teoremas utilizados en cada paso:

$(1)$ usa $A-B=A\cap B^c$

$(2)$ utiliza la dualidad, $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

$(3)$ utiliza la distributividad, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$(4)$ utiliza la distributividad, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$(5)$ usa $A\cap \varnothing=\varnothing$

$(6)$ usa $A\cup \varnothing=A$

$(7)$ usa $A-B=A\cap B^c$

$(8)$ usa $A\cup B=B\cup A$

Answer 4

Significa "tal que". Sé que no es utilizado por todos, pero pensé que era relativamente convencional. Mis disculpas, es que no es el caso.

No es muy utilizado de esta manera. La convención se utiliza en conjunto la construcción de notación para separar el dominio de la variable vinculada y el predicado que crea el conjunto. En conjunto la construcción, también podemos utilizar tubos ("|") para esto.

Por ejemplo : $\;2\Bbb N= \{x \in \Bbb N : \exists k\in \Bbb N \; (x=2k)\}\;$, se lee como: "el conjunto de $2\Bbb N$ es el conjunto de los números naturales, $x$, de tal manera que existe un número natural, $k$, de modo que $x=2k$."

De esta manera, lo que parece que están tratando de decir es:

$$\begin{align} &(A\cup B)-(A\cap B) \; \\[1ex] = & \{ x\in A\cup B: x\notin A\cap B\} \\[1ex] & \vdots \\[1ex] = & \{x\in A:x\notin B\}\cup\{x\in B:x\notin A\} \\[1ex] = & (A-B)\cup (B-A) \end{align}$$

Que es bueno.

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Para usar mis palabras:

Tomar un elemento arbitrario de la unión de $A$ $B$ que no está en su intersección, que es $\;(A\cup B)-(A \cap B)\;$. Este elemento está en cualquiera de las $A$ o en $B$ pero no es tanto en$A$$B$. Considerando caso por caso, (1) si es en $A$, entonces no es en $B$, y (2) si es en $B$, entonces no es en $A$. Así es o $A$ pero no $B$ o es $B$ pero no $A$. Es decir, que se está en la diferencia simétrica de los conjuntos. $$(A\cup B)-(A\cap B)\subseteq (A-B)\cup(B-A)$$

Tomar cualquier elemento de la unión de establecer las diferencias que se $(A-B)\cup(B-A)$. Este elemento se encuentra en $A$ pero no $B$, o es $B$ pero no $A$. Por lo tanto es en cualquiera de las $A$ o $B$ pero no en ambos. $$(A\cup B)-(A\cap B)\supseteq (A-B)\cup(B-A)$$

Por lo tanto los dos son demostrablemente equivalente, que es lo que iba a ser mostrado. $$(A\cup B)-(A\cap B) \equiv (A-B)\cup(B-A) \quad \Box$$