Considerar cuatro enteros $x_1, x_2, y_1, y_2$$x_2 > x_1$$y_2 > y_1$. ¿Por qué es cierto que $$|y_1-x_1| + |y_2 -x_2| \leq |y_2 - x_1| + |x_2 - y_1|?$$
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aprado
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Si nos cuadrado obtenemos: $$(y_1-x_1)^2 +2|y_1-x_1||y_2 -x_2| +(y_2 -x_2)^2 \leq (y_2 - x_1)^2 +2|y_2 - x_1||x_2 - y_1|+ (x_2 - y_1)^2$$ así $$-y_1x_1 +|y_1-x_1||y_2 -x_2| -y_2x_2 \leq -y_2 x_1 +|y_2 - x_1||x_2 - y_1| -x_2y_1$$ por lo tanto tenemos que comprobar $$(y_2-y_1)(x_1-x_2) +|y_1-x_1||y_2 -x_2| \leq |y_2 - x_1||x_2 - y_1| $$ Deje $a=x_2-x_1>0$$b=y_2-y_1>0$. Entonces:
$$-ab+|y_1-x_1||y_1 -x_1+(b-a)| \leq |b+y_1-x_1||a-(y_1-x_1)| $$ Deje $z=y_1-x_1$, entonces: $$|z||z+(b-a)| \leq |b+z||a-z| +ab$$ Vamos a hecho algunos estimación de lado derecho con la desigualdad del triángulo: $$ \begin{eqnarray} |b+z||a-z| +ab &=& |z+b||z-a| +|ab|\\ &\geq & |(z+b)(z-a) +ab|\\ &= & |z^2+z(b-a)|\\ &= & |z||z+(b-a)|\\ \end{eqnarray} $$
Martin R
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7826
La siguiente solución es tomado de esta respuesta a la cuestión más general de La suma de las diferencias entre los dos conjuntos de datos se minimiza cuando ambos se ordenan de la misma manera:
Si $x_2 \le y_2$ $y_2 - x_1 = (y_2 - x_2) + (x_2 - x_1)$ es una suma de no en términos negativos, por lo que $$ |y_2 - x_1| + |x_2 - y_1| = \color{verde}{|y_2 - x_2|} + \color{red}{|x_2 - x_1|} + \color{red}{|x_2 - y_1|} \ge \color{red}{|y_1-x_1|} + \color{verde}{|y_2 - x_2|} \, . $$
De lo contrario, $x_2 > y_2$ $x_2 - y_1 = (x_2 - y_2) + (y_2 - y_1)$ es una suma de no en términos negativos, por lo que $$ |y_2 - x_1| + |x_2 - y_1| = \color{red}{|y_2 - x_1|} + \color{verde}{|x_2 - y_2|} + \color{red}{|y_2 - y_1|} \ge \color{red}{|y_1-x_1|} + \color{verde}{|y_2 - x_2|} \, . $$
En ambos casos, la desigualdad de triángulo se utiliza para estimar los términos en rojo.
Michael Rozenberg
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677
Hay una prueba sin casos.
Vamos $x_2=a$, $x_1=b$, $y_2=c$ y $y_1=d$.
Por lo tanto, $a>b$, $c>d$ y tenemos que demostrar que $$|c-b|+|a-d|\geq|b-d|+|a-c|$$ o $$a^2+b^2+c^2+d^2-2bc-2ad+2|(c-b)(a-d)|\geq $$ $$\geq a^2+b^2+c^2+d^2-2bd-2ac+2|(b-d)(a-c)|$$ $$ac-bc-ad+bd+|(c-b)(a-d)|\geq|(b-d)(a-c)|$$ o $$(a-b)(c-d)+|(c-b)(a-d)|\geq|(b-d)(a-c)|,$ $ , que es sólo la desigualdad de triángulo: $$(a-b)(c-d)+|(c-b)(a-d)|=|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|\geq$$ $$\geq|(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)|=|(b-d)(a-c)|.$$
