Para demostrar que la dimensión de $V$ $d_1^2 + \ldots + d_k^2$

Question

Deje $A$ $n \times n$ matriz diagonal con polinomio característico $$(x - c_1)^{d_1} \cdots (x - c_k)^{d_k} , $$ donde $c_1,\ldots,c_k$ son distintos. Deje $V$ ser el espacio de $n \times n$ matrices $B$ tal que $AB = BA$. Demostrar que la dimensión de $V$$d_1^2 + \cdots + d_k^2$.

Estoy completamente atrapado en él. Alguien me puede ayudar por favor? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

El uso de dos hechos:

1. Si $AB = BA$, $B$ mapas de cada subespacio propio de $A$ sobre sí mismo. (Si $A v = c_{i} v$,$A (B v) = B (A v) = B (c_{i} v) = c_{i} (B v)$.)
2. Restringida al subespacio propio $V_{i}$, de dimensión $d_{i}$, en relación a $c_i$, $A$ es una magnitud escalar matriz, por lo que conmutan con todos los $d_{i} \times d_{i}$ matrices en $V_{i}$.

---

Ejemplo Vamos A $d_{1} = 2$, $d_{2} = 3$. Entonces $$ A = \begin{bmatrix} c_1&&&\vert\\&&c_1&\vert\\\hline &&&\vert &c_2\\&&&\vert&&&c_2\\&&&\vert&&&&c_2 \end{bmatrix}. $$ Si $B$ viajes con $A$, se tiene la forma de bloque $$ B = \begin{bmatrix} H&\vert\\\hline&\vert&K \end{bmatrix}, $$ donde $H$ es arbitraria $2 \times 2$ matriz, y $K$ es arbitraria $3 \times 3$ matriz. De modo que el espacio de tal $B$'s tiene dimensión $d_1^2 + d_2^2 = 2^2 + 3^2 = 13$.