Inyectiva y Proyectiva módulo

Question

Ok, este problema me está volviendo loco. Al principio, pensé que yo lo hice. Pero cuando la lectura de otro libro de texto (que tiene una similar de la proposición, que (el problema es que en mi libro de texto, y la proposición en el otro libro) no son exactamente los mismos), así que me fui a mi trabajo de nuevo, y encontré un gran error en mi trabajo, por lo rehice, pero acabo de couldnot completa. Aquí es el problema de mi libro de texto:

Problema

Aviso: En el siguiente problema $A$; $J$, y $P$ todos los $R-$módulos.

Demostrar que $J$ es inyectiva si para cada epimorphism $f:A \to J$, y monomorphism $g:A \to P$ (donde $P$ es algunos proyectiva módulo), debe existir un homomorphism $\varphi: P \to J$, de tal manera que $\varphi g = f$.

Y la otra versión es sin epimorphism parte, solo requiere de $f$ a cualquier módulo de mapa.

Y aquí está mi trabajo

---

1. El $\Rightarrow:$ parte debe ser recta a partir de la definición de la inyectiva módulos.
2. Ahora, el $\Leftarrow:$ part. Voy a probar a $J$ inyectiva, por lo que prueba que cada breve secuencia exacta de la forma $0 \to J \xrightarrow{\chi} A \xrightarrow{\sigma} B \to 0$ se divide. Y para demostrar eso, mi objetivo es construir una inversa de a $\chi$. Para considerar el siguiente diagrama:

Donde $R^A$, e $R^J$ son, respectivamente, libre de los módulos generados por los elementos de a $A$, y $J$. $i$ es el natural de inyección, ya que $J$ puede ser considerado como un submódulo de $A$, y $p_1$, $p_2$ son epimorphisms.

Desde $R^A$ es gratis, por lo tanto proyectivas. Así, de acuerdo con el problema, no existe $\gamma: R^A \to J$, de modo que la parte inferior izquierda del triángulo de desplazamientos.

Al principio, pensé que puedo construir $\beta: A \to J$ mediante el uso de la propiedad de $p_2$, yo.e, para cada $a \in A$ existe $(\alpha_i)_{i \in A} \in R^A$, de tal manera que $p_2((\alpha_i)_{i \in A}) = a$. Y puedo definir $\beta (a) = \gamma((\alpha_i)_{i \in A})$. Sin embargo, con esa definición, yo no puedo demostrar que $\beta$ está bien definido, digamos, un mapa del módulo, y la verdad creo que no es un mapa. Pero, tal vez estoy equivocado.

Así, alguien me puede ayudar, me estoy perdiendo algo aquí? O es el libro equivocado? O debo comenzar con una forma diferente?

Gracias a todos,

Y tener un buen día,

Answer 1

Creo que podría ser más fácil trabajar directamente con la definición básica de inyectividad, es decir, que si $A \hookrightarrow B$ es una incrustación, ninguna de las $A \to J$ se extiende a $B$.

Ahora se supone que para reducir al caso en el $A \to J$ es surjective, y $B$ es proyectiva. Siempre puedes agregar una copia de $J$ $A$ $B$a obtener surjectivity. Y siempre se puede escribir $B \oplus J$ como cociente de algunos proyectiva $P$ y la forma adecuada de pull-back a asumir $B$ es proyectiva. Os dejo los detalles para usted.

Answer 2

Ok, así que he estado trabajando en este problema para más de la mitad de un día, y al final se paga. Realmente no sé si hay algún defecto a la izquierda en esta solución, pero parece verdad para mí. Es medianoche aquí, y me puede hacer algún tipo de error estúpido. Así que si alguien puede confirmar que es para mí, yo estaría muy contento.

Mi objetivo es utilizar Baer criterio para resolverlo. Así, por cada inyectiva $i: I \to R$, y por cada homomorphism $f: I \to J$, tengo que levantar a algunos $g: R \to J$.

1. Si $f$ es epi, luego del hecho, ya que el $R$ es gratis, por lo tanto proyectivas.
2. Si $f$ no es epi, me la construcción de un epimorphism $\gamma: R^J \to J$. Así tenemos el siguiente diagrama: $\begin{array}{ccc} I \oplus R^J & \xrightarrow{i\oplus\mbox{id}_{R^J}} & R \oplus R^J \\ \downarrow^{\tilde{f}} \\ J \end{array}$

donde $\tilde{f}(i; (r_k)_{k \in J}) = f(i) + \gamma((r_k)_{k \in J})$, ya que el $\tilde{f}$ es epi, y $i \oplus \mbox{id}_{R^J}$ es inyectiva, y $R \oplus R^J$ es gratis por lo tanto proyectivas, así que hay un homomorphism $\varphi: R \oplus R^J \to J$, de tal manera que el diagrama de desplazamientos. Es fácil ver que $g = \varphi \circ j$ es el módulo de mapa que estoy buscando, donde $j$ es un inyectiva mapa de$R$$R \oplus R^J$, yo.e $j(b) = (b; 0_{R^J})$.

Se ve bien?