Modificación de los valores de una función integrable $f:[a,b] \to \mathbb R$ un número contablemente infinito de puntos que no son un subconjunto denso de $[a,b]$

Question

Sea $f:[a,b] \to \mathbb R$ sea una función integrable de Riemann sobre $[a,b]$ . Se sabe que si cambiamos sus valores en un número finito de puntos de $[a,b]$ entonces la función modificada sigue siendo integrable de Riemann en $[a,b]$ . Mi pregunta es , supongamos que cambiamos sus valores en un número contablemente infinito de puntos de $[a,b]$ tal que el conjunto de estos puntos no sea denso en $[a,b]$ ; entonces, ¿es cierto que esta función modificada es integrable de Riemann en $[a,b]$ ?

Answer 1

Digamos que $E\subset [a,b]$ es "imperceptible de Riemann" (IR) si los valores de cualquier $f\in \mathcal R [a,b]$ en $E$ puede cambiarse arbitrariamente y seguir dejándonos con una función en $\mathcal R [a,b].$ Reclamación: $E$ es RU si $m(\overline E )=0.$

Prueba: Supongamos $m(\overline E )=0.$ Establecer $U= [a,b]\setminus \overline E.$ Entonces $U$ está abierto en $[a,b].$ Sea $f\in \mathcal R [a,b].$ Entonces $f$ es continua a.e. en $[a,b]$ por tanto, a.e. en $U.$ Desde $U$ está abierto, eso no cambiará por mucho que cambiemos $f$ en $E$ (o $\overline E$ para el caso). Porque $U$ tiene medida completa, la función modificada es continua a.e. en $[a,b].$ Así, todos estos cambios nos dejan en $\mathcal R [a,b],$ de ahí $E$ es RU.

Supongamos que $m(\overline E )>0.$ Caso 0: $E$ contiene un intervalo. Entonces, obviamente $E$ no es RU. Caso 1: $E$ no contiene ningún intervalo, pero $\overline E$ contiene un intervalo $I.$ Entonces $E\cap I, I\setminus E$ son ambas densas en $I.$ Supongamos que $f \equiv 0.$ Cambia $f$ à $\chi_E.$ Entonces $\chi_E$ es discontinua en cada punto de $I,$ un conjunto de medida postitiva. Así, $\chi_E \not \in \mathcal R [a,b].$ Por lo tanto $E$ no es RU. Caso 2: $\overline E$ no contiene ningún intervalo $I.$ Otra vez set $U= [a,b]\setminus \overline E.$ Entonces $U$ es denso en $[a,b].$ Toma $f \equiv 0$ y cambiarlo por $\chi_E.$ Puesto que cada $x \in \overline E$ es accesible desde $E$ y de $U,$ $\chi_E$ es discontinua en $x.$ Por lo tanto $E$ no es RU.