Límite de $\sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}}$ como $x \to 0$

Question

Estoy tratando de calcular el límite

$$\lim_ {x \to 0} \sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}}$$

Wolfram Alpha dice que es $1$ . Pero yo tengo

$$\lim_ {x \to 0} \sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}}$$ $$= \exp \lim_ {x \to 0} \ln \left ( \left ( \frac { \tan x}{x} \right )^{1/x} \right )$$ $$= \exp \lim_ {x \to 0} \frac { \ln ( \tan (x)) - \ln (x)}{x}$$ Usando L'Hospital: $$= \exp \lim_ {x \to 0} \frac { \frac {1}{ \tan (x) \cos ^2(x)} - \frac {1}{x}}{1}$$ $$= \exp \lim_ {x \to 0} \frac {1}{ \sin (x) \cos (x)} - \frac {1}{x}$$ $$= \exp \lim_ {x \to 0} \frac {1}{ \sin (2x)} - \frac {1}{x}$$ $$= \exp \lim_ {x \to 0} \frac {x - \sin (2x)}{ \sin (2x) x}$$

Pero cuando calculo $$\lim_ {x \to 0} \frac {x - \sin (2x)}{ \sin (2x) x}$$ con Wolfram Alpha obtengo $\pm \infty$ . Así que el límite de $\lim_ {x \to 0} \sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}}$ debería ser $e^{ \pm \infty } = 0 \text { or } \infty \neq 1$ . Lo cual está mal.

¿Dónde está mi error?

Answer 1

También puedes usar las expansiones de Taylor
$$\tan (x)=x+ \frac {x^3}{3}+ ...$$ $$\frac { \tan (x)}{x}=1+ \frac {x^2}{3}+ ...$$ $$\left ( \frac { \tan (x)}{x} \right )^{ \frac {1}{x}}=1+ \frac {x}{3}+ ...$$

Answer 2

$\sin x \cos x = \frac { \sin 2x}{2}$ en lugar de sólo $\sin 2x$

Answer 3

Si $L$ es el límite a evaluar, entonces tenemos $$\begin {aligned} \log L &= \log\left ( \lim_ {x \to 0} \sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}} \right ) \\ &= \lim_ {x \to 0} \log\left ( \sqrt [x]{ \frac { \tan x}{x}} \right ) \text { (by continuity of } \log ) \\ &= \lim_ {x \to 0} \dfrac { \log\left ( \dfrac { \tan x}{x} \right )}{x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \dfrac { \log\left (1 + \dfrac { \tan x}{x} - 1 \right )}{ \dfrac { \tan x}{x} - 1} \cdot\dfrac { \dfrac { \tan x}{x} - 1}{x} \\ &= \lim_ {x \to 0}1 \cdot\frac { \tan x - x}{x^{2}} \text { (because }y = \frac { \tan x}{x} - 1 \to 0 \text { and } \lim_ {y \to 0} \frac { \log (1 + y)}{y} = 1) \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin x - x \cos x}{x^{2} \cos x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin x - x \cos x}{x^{2} \cdot 1} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin x - x}{x^{2}} + x \cdot\frac {1 - \cos x}{x^{2}} \\ &= 0 + 0 \cdot \frac {1}{2} = 0 \end {aligned}$$ El primer límite es calculado aquí sin ninguna expansión de la serie o LHR y el segundo límite es bastante estándar basado en $1 - \cos x = 2 \sin ^{2}(x/2)$ y usando $\lim_ {x \to 0} \dfrac { \sin x }{x} = 1$ . De ello se deduce que $L = e^{0} = 1$ .

Actualización : También es posible utilizar el enfoque de la respuesta vinculada anterior para calcular el límite $$\lim_ {x \to 0} \frac { \tan x - x}{x^{2}}$$ Claramente si $0 < x < \dfrac { \pi }{2}$ entonces tenemos $\sin x < x < \tan x$ para que $$0 < \frac { \tan x - x}{x^{2}} < \frac { \tan x - \sin x}{x^{2}} = \tan x \cdot\frac {1 - \cos x}{x^{2}}$$ Tomando los límites como $x \to 0^{+}$ y usando el Teorema del Estrujón conseguimos $$\lim_ {x \to 0^{+}} \frac { \tan x - x}{x^{2}} = 0$$ Y para manejar $x \to 0^{-}$ podemos poner $x = -y$ y obtener el límite de la mano izquierda también como $0$ .