Suma de todos raíz de las longitudes en la simple Mentira álgebra

Question

Parte de uno de mis cálculos implica (la mirada inocente) la expresión $\sum_{\alpha\in\Sigma} (\alpha,\alpha)$ por simple álgebras de Lie. Tengo dos métodos de cálculo de ello-lo que no está de acuerdo. Estoy bastante seguro de que el primero está mal, pero no sé por qué. Cualquier ayuda es bienvenida (que es la razón por la que he publicado aquí)!

Mi primera partida de 'hechos' (ver, por ejemplo, el libro gratis por Cahn o la integral de Knapp):

Dada una simple Mentira álgebra $\mathfrak{g}$, y una base para la Cartan subalgebra $\{h_i\\,,\\;i=1\ldots,r\}$, los componentes de las raíces son definidos por $$[h_i,e_\alpha] = \alpha_i e_\alpha$$

La Matanza de forma restringida a la Cartan subalgebra es (Knapp Cor (2.24): pero con índice montado notación) $$ g_{ij}=\mathrm{tr}h_i h_j = \sum_{\alpha\in\Sigma}\alpha_i\alpha_j $$ El producto interior en el espacio de raíz se define a través de la Matanza de formulario (Knapp eqn (2.28)): $$(\alpha,\beta) = \alpha^i\beta_i = \alpha_i g^{ij} \beta_j=\mathrm{tr}(h_\alpha h_\beta)\\,,\qquad g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$$

Así que tenemos nuestra primera (y probablemente equivocada) forma de cálculo: $$\sum_{\alpha\en\Sigma} (\alpha,\alpha) = g^{ij}\sum_{\alpha\en\Sigma} \alpha_i\alpha_j = g^{ij}g_{ij} = \sum_i \delta^i_i = \mathrm{rnk} \mathfrak{g} $$

El segundo método es que se acaba de enumerar y la suma de todas las raíces. Para una simplemente atada Mentira álgebra esto es fácil, porque todas las raíces tienen la misma longitud $(\alpha,\alpha)=l$: $$\sum_{\alpha\en\Sigma} (\alpha,\alpha) = l\sum_{\alpha\en\Sigma} 1 = l\\,(\mathrm{dim}\mathfrak{g}-\mathrm{rnk}\mathfrak{g}) $$

Estos resultados no son compatibles...

Answer 1

El motivo de la discrepancia y a que el primer cálculo no es correcto es que, efectivamente, el Cartan-Killing métrica es una métrica sobre el peso de espacio, pero no es la métrica con respecto a que la raíz de longitud se define, (es un escalar varios). La raíz de longitud se define con la métrica Euclidiana en el peso y el espacio, y desde los primitivos pesos no son ortogonales, esta métrica no es diagonal en la primitiva base de peso, pero es diferente de la Cartan-Killing métrica por un escalar múltiples. Debidamente normalizado tensor métrico es dado en la tabla 7 del siguiente artículo de revisión por Slansky para todos los simples de álgebras de Lie. La normalización de la convención en este artículo es tomado por la fijación de la raíz longitudes de simplemente atada álgebras de a 2. Uno puede fácilmente comprobar, por ejemplo, el uso de las matrices de Cartan de la tabla 6 que el cuadrado de la longitud de la simple raíces de Una de 2, o la longitud de las raíces de B2 es de 1,2 respectivamente.

Answer 2

Resulta que yo estaba equivocado y que ambos métodos dan resultados correctos. De hecho, el uso de los dos resultados se pueden reproducir los parámetros de la escala por el simple álgebras de Lie dado en la Broughton papel vinculado a través de David.

Mi error fue en el supuesto de que la longitud de las raíces es siempre arbitraria. Es bien sabido que la elección de los invariantes bilineal en el álgebra es único hasta una escala. La restricción de la bilineal en el Cartan subalgebra es dualized para dar la métrica en el espacio de raíz y por lo tanto pasa en la elección de la escala a las raíces.

Pero yo ya había elegido la Matanza forma como mi bilineal - un ingrediente necesario en el primer método que he presentado. Por lo tanto la longitud de mis raíces se fija.

Construcción directa de un par de bajo rango de los casos (algo que yo debería haber hecho antes de la publicación), se confirmó que todo funciona ok.

Como una comprobación rápida y la aplicación, se puede reproducir el factor de escala dado por Broughton para $A_n$. Tenemos $\mathrm{rnk}(A_n)=n$$\mathrm{dim}(A_n)=(n+1)^2-1$, lo $l=\frac{\mathrm{rnk}(A_n)}{\mathrm{dim}(A_n)-\mathrm{rnk}(A_n)}=\frac{1}{n+1}$.