La diferenciabilidad de $\mathrm{max}(x, y)$ $x=y$

Question

Estoy tratando de averiguar la diferenciabilidad de $\mathrm{max}(x, y)$. Intuitivamente, esto no debe ser diferenciable en a $x=y$, ya que los cambios de dirección", no sin problemas" en esos puntos.

No puedo, sin embargo, encontrar una manera de probar esto de manera algebraica.

Answer 1

Sugerencia: Escribir

$$\operatorname{max}(x,y) = \frac{x + y + |x-y|}{2}$$

Answer 2

Tomar cualquier punto de $(a,a)$ y demostrar que la derivada parcial no existe. La derivada parcial es $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x,a)-f(a,a)}{x-1}$. La izquierda límite para esto es $$\lim_{x\uparrow a}\frac{\max\{x,a\}-a}{x-a}=\lim_{x\uparrow a}\frac{a-a}{x-a}=0$$ mientras que el límite es $$\lim_{x\downarrow a}\frac{\max\{x,a\}-a}{x-a} = \lim_{x\downarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1$$

Answer 3

Deje $f(x,y)=\max \{x,y\}$. Ahora mira a $f$ en la sección de $y=-x$: $$f(x,-x)=\max \{x,-x\}=|x|.$$ Esta función no es diferenciable como una función de la variable $x$, lo $f$ no puede ser diferenciable.

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $$\partiald{\max\pars{x,y}}{x} = \media\bracks{1 + \sgn\pars{x, y}}$$