Forma cerrada para $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2\log n}$

Question

Había intentado evaluar

$$\int_2^\infty (\zeta(x)-1)\, dx \approx 0.605521788882.$$

Al escribir la función zeta como una suma, obtuve

$$\int_2^\infty \left(\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}+\cdots\right)\, dx = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2\log n}.$$

Esta suma se menciona en el OEIS .

Todos mis intentos de evaluar esta suma han sido infructuosos. ¿Alguien conoce una forma cerrada, o quizás, otra forma alternativa interesante?

Answer 1

La forma cerrada es una expresión que sólo contiene funciones elementales. Para tu caso no existe tal forma. Para más información lea estos enlaces:

http://www.frm.utn.edu.ar/analisisdsys/MATERIAL/Funcion_Gamma.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Hölder%27s_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#19th-20th_centuries:_characterizing_the_gamma_function

http://divizio.perso.math.cnrs.fr/PREPRINTS/16-JourneeAnnuelleSMF/difftransc.pdf

http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/17476930903394788?journalCode=gcov20

Se necesitan algunos antecedentes para su comprensión y buena suerte con estas referencias.

Answer 2

Hace algún tiempo derivé una fórmula:

$$ \int\limits_{2}^\infty (\zeta(s)-1) ds=\frac{3}{2} - \int\limits_{0}^\infty \frac{H_x dx}{x^2(\mathrm{ln}^2 x+\pi^2)} $$ donde $\mathrm{ln}(x) $ significa logaritmo natural y $H_x=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+x}$

Si es cierto, será un buen comienzo.