Prueba de convergencia de la serie$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$

Question

¿Podría darme una pista para probar la convergencia de las siguientes series, por favor?

PS

Editar

La prueba integral no funciona porque$$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ no tiene una primitiva elemental.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia alternativa:

$$ (\ ln n) ^ {\ ln n} = n ^ {\ ln \ ln n}. $$

Answer 2

Insinuación:

Considerar

$$ 2 ^ k \ frac {1} {(k \ ln e) ^ {k \ ln 2}}> \ sum_ {2 ^ k \ le n <2 ^ {k +1}} \ frac {1} { (\ ln n) ^ {\ ln n}}> 2 ^ k \ frac {1} {((k +1) \ ln e) ^ {(k +1) \ ln 2}}, $$