Relación entre funciones convexas.

Question

Formé la siguiente conjetura, ya que no puedo encontrar contraejemplos, estoy tratando de probar.

Deje $f, g :[0,x_{max}]\rightarrow {\mathbb R}^{+}$ tal que

• $f',g'>0$
• $f'',g''>0$
• $f(x) > g(x)$
• $f(x_{max})$ = $g(x_{max})$ y $f(0)$ = $g(0)$.

A continuación,$\int_0^{x_{max}} (f'(x))^2 > \int_0^{x_{max}} (g'(x))^2$.

Esto es cierto y si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

PS: Hemos encontrado esta relación entre la integral del cuadrado de derivados, mientras que jugando con las estadísticas. De hecho, esta relación es equivalente a una relación entre la desviación estándar $\sigma_{f'}>\sigma_{g'}$.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Primero de todo me gustaría reemplazar todas las $>$$\ge$, otro th cuarto,e la tercera y la segunda a la última condiciones son contradictorios.

Que dijo que la declaración es verdadera, y puede ser probado por la integración parcial: $$\begin{array}{ll}\int_0^{x_0}f'(x)^2-g'(x)^2dx&=\int_0^{x_0}(f'+g')(f'-g')dx\\&=\underbrace{\bigg[(f'+g')(f-g)\bigg]_0^{x_0}}_{=0}-\int_0^{x_0}\underbrace{(f''+g'')}_{\ge0}\underbrace{(f-g)}_{\ge0}dx\end{array}$$ Y por lo tanto: $$\int_0^{x_0}f'(x)^2-g'(x)^2dx\le0$$ Observe que los supuestos que hemos utilizado son:

1. $f(0)=g(0)$ $f(x_0)=g(x_0)$
2. $f(x)\ge g(x)$ todos los $x$
3. $f''(x)+g''(x)\ge0$ todos los $x$

Por lo tanto solo necesitamos que una función uno domina al otro, que se ponen de acuerdo sobre el límite y que la suma de las funciones convexas.