Prueba relativa a valores propios

Question

Tengo el siguiente problema que no sé cómo resolver, cualquier ayuda es muy apreciada.

Deje $A,B$ $C$ $n \times n$ matrices. Supongamos que $B$ $C$ son simétricas.

Considere la matriz $$M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{bmatrix}$$

Mostrar que si $\lambda$ es un autovalor de a $M$ lo es $-\lambda$.

Mi idea:

Yo sé que para $\lambda$ a ser un autovalor de $A$, $det(A-λI)$ tiene que ser cero, entonces usted puede trabajar fuera de este determinante y obtener los autovalores. Sin embargo, yo no sé si usted necesita para resolver esta matriz como la que desde sus entradas no son los números sino de las matrices. Además de eso, estoy bastante seguro de que esta no es la manera de afrontar este problema, ya que no se necesitan los valores de los vectores propios, pero usted tiene que demostrar que si $\lambda$ es un autovalor de M, entonces también lo es $-\lambda$.

Gracias de antemano :)

Answer 1

Deje que$u$ sea un vector propio:$u\ne0$ y$Mu=\lambda u$. Luego, escribiendo $$u = \begin{bmatrix}v\\w\end {bmatrix}$$ con$v$ y$w$ siendo$n\times 1$ vectores de columna, tenemos $$\begin{bmatrix}A & B \\ C & -A^T\end {bmatrix} \begin{bmatrix}v\\w\end {bmatrix} = \begin{bmatrix}Av+Bw\\Cv-A^Tw\end {bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda v\\\lambda w\end {bmatrix}$$ Ahora considere $$u '= \begin{bmatrix}w\\-v\end {bmatrix}$$ so $$M ^ Tu '= \begin{bmatrix} A^T & C \\ B & -A\end {bmatrix} \begin{bmatrix}w\\-v\end {bmatrix} = \begin{bmatrix} A^Tw-Cv \\ Bw+Av \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} -\lambda w \\ \lambda v \end {bmatrix} = - \ lambda u'$$ Una matriz y su transposición tienen los mismos valores propios.

Answer 2

$M^T = \begin{bmatrix} A^T &C\\B&-A\end{bmatrix}$

Cada vector de fila en$(M - \lambda I)$ hay un vector de columna correspondiente en$(M^T + \lambda I)$ De tal manera que los dos vectores son iguales.

Por lo tanto, si las filas de$(M - \lambda I)$ y$\lambda$ es un valor propio de M, los vectores de columna de$(M^T + \lambda I)$ también deben ser linealmente dependientes y$-\lambda$ es un valor propio de$M^T.$

Si$\lambda$ es un valor propio de$M^T$ también es un valor propio de$M$