Demostrar que $4$ no divide $x^3-2$

Question

Demostrar que $4$ no divide $x^3-2$ es lo que necesito probar.

Creo que debería poner $4k$ es $x^3-2$ y luego contradecirlo de alguna manera. La alternativa es factorizarlo como $x^3$ es $x(x+2)(x-2)$ pero no estoy seguro de ello.

¿Sabe cómo mostrar esto?

Answer 1

1. Utilizar la aritmética modular:

Si $x \equiv 0 \mod 4$ entonces $x^3 \equiv 0 \mod 4$ y $x^3-2 \equiv 2 \mod 4$ .

Si $x \equiv 1 \mod 4$ entonces $x^3 \equiv 1 \mod 4$ y $x^3-2 \equiv 3 \mod 4$ .

Si $x \equiv 2 \mod 4$ entonces $x^3 \equiv 8 \equiv 0 \mod 4$ y $x^3-2 \equiv 2 \mod 4$ .

Si $x \equiv 3 \mod 4$ entonces $x^3 \equiv 27 \equiv 3 \mod 4$ y $x^3-2 \equiv 1 \mod 4$ .

---

2. Utilizando un argumento de divisibilidad:

Si $x$ es impar, entonces $x^3$ es impar y $x^3-2$ es impar, por lo que no es divisible por 4.

Si $x$ es par, entonces $x^3$ es un múltiplo de 8 y, por tanto, de 4. Así que $x^3-2$ no es un múltiplo de 4.

Answer 2

Si $k$ es impar $x^3$ es impar y $x^3-2$ también, así que $4$ no puede dividirlo. Si $x$ es incluso es $2k$ y así $x^3-2=(2k)^3-2=8k^3-2=4(2k^3)-2$ y por lo tanto no es un múltiplo de $4$

Answer 3

$$x^3\equiv2\pmod4\implies x^3\equiv2\pmod2\equiv0$$

como $x^3-x=x(x-1)(x+1)\equiv0\pmod2, x^3\equiv x\pmod2$

$\implies x$ es incluso $\implies x^3\equiv0\pmod4$

Answer 4

En $\mathbf Z/4\mathbf Z$ los cuadrados son $0$ y $1$ por lo que los cubos son $0,1,-1$ no $2$ .

Answer 5

En primer lugar, recuerde el hecho obvio de que $4 = 2 \times 2$ entonces todo lo demás encaja en su sitio.

Si $x = 2y$ (lo que significa que $x$ es par), entonces $x^3 = (2y)^3 = 8y^3$ . Entonces $$\frac{x^3 - 2}{4} = \frac{8y^3 - 2}{4} = 2y^3 - \frac{1}{2},$$ que claramente no es un número entero.

Si $x$ es impar, no te digo nada nuevo con eso $x^3$ es impar también, así como $x^3 - 2$ y el 4 no divide los números Impares.