Una falacia matemática sobre la integrabilidad de una función y la cancelación

Question

Estoy leyendo el Guía de patrocinadores de Florida Mu Alpha Theta . En la página 43 figura una lista de las aclaraciones y disputas que se suelen hacer, así como sus resoluciones. Una de sus aclaraciones es la siguiente:

Una función que no es integrable en un intervalo A no es integrable en ningún intervalo B, donde B contiene a A. Es decir, no hay argumentos de "los signos negativos se cancelan".

¿Cuál es el argumento al que se refieren?

Answer 1

Considere la función $f(x)=\frac{1}{x}$ para $x \neq 0$ y $f(0)=0$ . Puede demostrar que $f$ no es integrable en $[0,1]$ . El enunciado de su pregunta nos dice $f$ no es integrable en $[-1,1]$ . Se podría argumentar que porque $f$ es una función impar y $[-1,1]$ está centrada en el origen, el área positiva y negativa se "anulan" y $\int_{-1}^1 f(x)dx=0$ (de forma similar a como $\int_{-\pi}^\pi \sin(x)dx=0$ ), pero esto sería incorrecto.

Answer 2

Por ejemplo, $\int_{-\infty}^\infty x \; dx$ no es $0$ (excepto en el sentido del valor principal de Cauchy).

Answer 3

La norma que $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $ y su generalización a todas las particiones de un intervalo en un número finito de subintervalos cerrados. Esto significa que $f$ debe tener una integral en todos los subintervalos cerrados, si se quiere que sea integrable.

Para la integral de Riemann y sus generalizaciones (Lebesgue, Stieltjes, etc.) la propiedad de partición es una consecuencia de $\int_a^b f $ existentes. Así, la palabra "debería" puede sustituirse por "debe" en el primer párrafo.

La cancelación de las singularidades ocurre en algunos esquemas de regularización para integrales divergentes o impropias, lo cual es una cuestión diferente que no afecta a la integrabilidad.

Answer 4

Supongo que esto significa que, por ejemplo, si $f$ es una función de valor real sobre $[-1,1]$ que es impar (que significa $f(-x)=-f(x)$ para todos $x$ ) y que no es integrable en $[0,1]$ entonces sería falaz decir que la función es integrable en $[-1,1]$ y la integral se evalúa a cero".

Utilizar la simetría de la función para llegar a un valor de una integral definida sin tener en cuenta la integrabilidad de la función sería ciertamente un error...