¿Por qué el círculo se divide naturalmente en $6$ ?

Question

Dibuja un círculo. Dibuja un nuevo círculo con centro en la circunferencia y el mismo radio. Dibuja una nueva circunferencia con centro en los puntos de intersección y el mismo radio. Cuántas circunferencias puedes colocar alrededor de la circunferencia original? 6. 6 triángulos iguales caben dentro de un círculo, un hexágono dentro del círculo tiene la misma longitud que el radio, la forma de construir el ángulo de 60 grados. Todo esto dice lo mismo. ¿Por qué el círculo se divide en 6? Pero por qué no en 4, 5, 7, 8.

Answer 1

Creo que básicamente estás preguntando: ¿Por qué exactamente $6$ ¿los triángulos equiláteros caben en un círculo? y señalando diferentes instancias de la misma.

En cuyo caso: es porque los ángulos de un triángulo suman $180°$ que es "medio círculo".

Como un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales, cada ángulo tiene que ser un tercio de $180°$ -o un "sexto de círculo".

Así que exactamente $6$ de ellos encajan alrededor del centro del círculo.

Answer 2

Construye los dos primeros círculos y une sus centros. Observa que la longitud de esta conexión es el radio (que definiremos como una unidad). Ahora conecta los centros con una de las intersecciones y observa que has construido un triángulo equilátero (con ángulos cada uno $\frac \pi 3)$ .

Así, seis de estos triángulos cabrían exactamente en una revolución de $2\pi$ .

(Otra forma de pensar en ello es observar que la longitud del arco subtendido por el ángulo en un centro del círculo unitario es igual al ángulo, es decir $\frac \pi 3$ y hay seis de estas longitudes en la circunferencia $2\pi$ del círculo).