¿Prueba de que x ^ 3 = 2 tiene una solución real utilizando el teorema de integridad?

Question

Estoy tratando de probar que x^3 = 2 tiene una solución en los números reales utilizando el teorema de completitud. Yo estaba tratando baso en una prueba antes visto para x^2 =2, pero parece que tiene muchos pasos que son únicos a sí mismo, y no se aplican en general a los otros x^n = 2 problemas. Hasta ahora entiendo que tengo que tener un conjunto {x | x^3 <2} y para demostrar su acotado, entonces el uso de la integridad me puse de pié y demostramos que el sup es mi respuesta. Pero estoy perdido en cuanto a la manipulación y los pasos necesarios para mostrar los resultados.

Gracias de antemano. EDIT: por el teorema de completitud me refiero a que cada conjunto acotado en la recta numérica real tiene un supremum y infimum.

Answer 1

Primero de todo, mostrar que $x\mapsto x^3$ es estrictamente monótona creciente, es decir, $x<y\iff x^3<y^3$ cualquier $x,y\in\Bbb R$
(es posible que desee dividir en los siguientes casos: $x,y<0$, $\,x<0\le y$ e $\,0\le x,y$).

Ahora, tome $S:=\{x\in\Bbb R:x^3< 2\}$.
Este es acotado, porque por ejemplo, $x\in S\implies x^3< 2< 8=2^3\implies x< 2$.
Deje $s:=\sup S$, entonces para $\varepsilon=\frac1n$ hay un $x_n\in S$ con $\ s\ge x_n>s-\frac1n$, lo $\ \lim_nx_n=s$, lo que implica $$s^3\ =\ \lim_nx_n^3\ \le\ 2$$ Por otro lado, para cada $x\in S$ hay un $y\in S$ tal que $y>x$, lo $s\in S$ estaría en contradicción con el supremum de la propiedad.
Si desea explícitamente encontrar $y$, puede utilizar estimaciones como $$y^3-x^3=(y-x)(y^2+xy+x^2)<12(y-x)$$ que mantiene desde $x,y\in S$, por lo tanto $x,y<2$ (y se puede considerar sólo positivos $x,y$).

Todo esto significa $s^3\le 2$ pero $s^3\not<2$, lo $s^3=2$.