Una extensión $K/F$ es Galois si para cada extensión simple $F \subset F(u) \subset K$, $[F(u):F] \leq 2$.

Question

Sea $F$ un campo, $char(F)\neq 2$ y sea $K$ un campo de extensión de $F$. Si para cada $u\in K$, $[F(u):F]\leq 2$, muestra que $K$ es una extensión de Galois de $F$.

Answer 1

Aquí tienes una hoja de ruta:

• Una extensión de campos $K/F$ es Galois si es normal y separable.

• Cada extensión de grado $2$ es normal y un compositum de extensiones normales es normal.

• Un elemento $u \in K$ es separable sobre $F$ si su polinomio minimal tiene raíces distintas. Un polinomio $f$ tiene raíces distintas si y solo si $\gcd(f,f')=1$.

Answer 2

Necesitamos mostrar que $K$ es tanto separable como normal sobre $F$, ya que eso es lo que significa ser Galois.

Se nos da que

$u \in K \Longrightarrow [F(u):F] \le 2; \tag 1$

sea

$m(x) \in F[x] \tag 2$

el polinomio minimal de $u \in K$ sobre $F$; entonces de acuerdo con (1) tenemos

$\deg m(x) \le 2; \tag 3$

ahora,

$\deg m(x) = 1 \Longleftrightarrow m(x) = x + b, \; b \in F, \tag 4$

así que

$m(u) = u + b = 0 \Longleftrightarrow u = -b \in F; \tag 5$

así vemos que cuando $[F(u):F] = 1$, el polinomio minimal $m(x) = x + b$ es claramente separable, ya que tiene exactamente una raíz $-b$, que obviamente no se repite. En cuanto al caso $[F(u):F] = 2$, podemos escribir

$m(x) = x^2 + ax + b; \tag 6$

aquí la posibilidad de que

$b = \dfrac{a^2}{4} \tag 7$

está excluida por la suposición $[F(u):F] = 2$, no sea que

$m(x) = x^2 + ax + \dfrac{a^2}{4} = \left ( x + \dfrac{a}{2} \right )^2, \tag 8$

que tiene una raíz doble $u = -\frac{a}{2} \in F$ pero luego $F(u) = F$ así que nuevamente $[F(u):F] = 1$, una contradicción; por lo tanto

$b \ne \dfrac{a^2}{4}; \tag 9$

de (6) encontramos que

$m'(x) = 2x + a; \tag{10}$

que tiene una raíz

$u = -\dfrac{a}{2}; \tag{11}$

¿comparte esta raíz con $m(x)$? si es así, entonces

$m \left (-\dfrac{a}{2} \right ) = -\dfrac{a^2}{4} + b = 0; \tag{12}$

lo cual se cumple si también lo hace (7); así, a la luz de (9) encontramos

$m \left (-\dfrac{a}{2} \right ) = -\dfrac{a^2}{4} + b \ne 0, \tag{13}$

y concluimos que dado que $m(x)$ y $m'(x)$ no tienen raíces compartidas, $m(x)$ es un cuadrático separable y por lo tanto la extensión de campo $F(u)/F$ también es separable. Por lo tanto la extensión $K/F$ también es separable.

Habiendo establecido que $K/F$ es separable, ahora pasamos a la cuestión de la normalidad.

Sea

$p(x) \in F[x] \tag{14}$

irreducible, y supongamos que $p(x)$ tiene una raíz

$r \in K; \tag{15}$

es decir,

$p(r) = 0; \tag{16}$

podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que $p(x)$ es mónico; por hipótesis,

$[F(r):F] \le 2; \tag{17}$

podemos descartar la posibilidad de que $[F(r):F] = 1$, ya que entonces $r \in F$ y entonces $x - r \mid p(x)$ en $F$, lo cual va en contra de la irreducibilidad supuesta de $p(x)$; entonces de hecho

$[F(r):F] = 2; \tag{18}$

por lo tanto podemos tomar el polinomio minimal de $r$ sobre $F$ como un cuadrático $m(x)$ de la forma (6):

$m(x) = x^2 + ax + b \in F[x], \; a, b \in F \tag{19}$

con

$m(r) = 0; \tag{20}$

Afirmo

$m(-(a + r)) = 0; \tag{21}$

pues

$m(-(a + r)) = (a + r)^2 - a(a + r) + b$ $= a^2 + 2ar + r^2 - a^2 - ar + b = r^2 + ar + b = 0; \tag{22}$

por lo tanto $-(a + r)$ también es una raíz de $m(x)$ que entonces se ve que se descompone en $K$

$m(x) = (x - r)(x - (r + a)); \tag{23}$

además, dado que $m(x)$ es minimal para $r$ sobre $F$, tenemos a la luz de (14) que

$m(x) \mid p(x); \tag{24}$

ahora como $p(x)$ es irreducible podemos inferir de (24) que

$m(x) = p(x); \tag{25}$

por lo tanto $p(x)$ se descompone en $K$ por lo tanto $K$ es normal sobre $F$.

Dado que $K$ es tanto normal como separable sobre $F$, por definición $K$ es una extensión de Galois del campo $F$.