Intuitivamente, ¿por qué debería esperar un círculo en el plano complejo a partir de la ecuación $\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = c$ ?

Question

Sé cómo probarlo : ( $c \in [0,1[$ )

$$C = \{z \in \mathbb{C}: \left|\frac{z-1}{z+1}\right| = c \}$$

es un círculo en el plano complejo. Para ello podemos escribir, por ejemplo $z = x+iy$ y utilizar el método de la fuerza bruta.

Además, cabe mencionar que para mí es intuitivo que
$$\{z \in \mathbb{C} : \left| z - z_0 \right| = c \}$$

representa un círculo.

Pero no veo en absoluto por qué intuitivamente $C$ es un círculo. Entonces, ¿es posible entender geométricamente por qué $C$ ¿es un círculo en el plano complejo?

Muchas gracias.

Answer 1

Ir por pasos:

1. $|\frac12 - z| = \frac c2$ o $|1 - 2z| = c$ es la representación intuitiva de un círculo.
2. $|1 - 2\overline{z}| = c$ sigue siendo un círculo; sólo lo hemos reflejado alrededor del eje real.
3. Esta es la parte complicada. Sustitución de $\overline{z}$ por $\frac1z$ conserva el ángulo de un punto pero toma el recíproco de la magnitud. Esto lo convierte en un inversión en el plano complejo, que también preserva los círculos. (Bueno, los círculos que pasan por el origen se convierten en líneas, pero nuestro círculo no es uno de esos). Así que $|1 - \frac2z| = c$ sigue siendo un círculo.
4. Por último, pasando de $|\frac{z-2}{z}| = c$ a $|\frac{z-1}{z+1}| = c$ es sólo una traducción de $1$ .

Answer 2

Exploremos. $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ \frac{\lvert z - 1 \rvert}{\lvert z + 1 \rvert} = c } \quad \iff \quad \bbox{ \left\lvert z - 1 \right\rvert = c \left\lvert z + 1 \right\rvert } \tag{1}\label{NA1}$$ Esto sólo tiene sentido si $0 \lt c \in \mathbb{R}$ . Desde $z \in \mathbb{C}$ podemos escribir $z = x + i y$ . Desde $\lvert z \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}$ tenemos $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = c \sqrt{(x+1)^2 + y^2} } \tag{2}\label{NA2}$$ Desde $x, y, z \in \mathbb{R}$ y $c \gt 0$ ambos lados son positivos, y podemos elevar ambos lados al cuadrado: $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ (x-1)^2 + y^2 = c^2 (x+1)^2 + c^2 y^2 } \tag{3}\label{NA3}$$ Expandiendo y desplazando todos los términos a un lado, obtenemos $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ x^2 - 2 x + 1 + y^2 - c^2 x^2 - c^2 y^2 - 2 c^2 x - c^2 = 0 } \tag{4}\label{NA4}$$ El caso cuando $c = 1$ es especial, porque entonces $\eqref{NA3}$ se simplifica a $x = 0$ que no es un círculo sino una recta (a menos que se diga que es un círculo de radio infinito centrado en real $\pm\infty$ ). En cualquier caso, continuemos la exploración con $0 \lt c \in \mathbb{R}$ , $c \ne 1$ .

Podemos recoger los términos en $\eqref{NA4}$ , obteniendo $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ (1 - c^2)\left( (x + 1)^2 - \frac{4 x}{1 - c^2} + y^2 \right) = 0 } \tag{5}\label{NA5}$$ Porque ya hemos decidido $c \ne 1$ esto equivale a $$\bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ (x + 1)^2 - \frac{4 x}{1 - c^2} + y^2 = 0 , \quad c \ne 1 } \tag{6}\label{NA6}$$ Esto se está poniendo interesante. Comparar con la ecuación de un círculo de radio $r$ centrado en $x = x_0$ , $$\bbox{ (x - x_0)^2 + y^2 - r^2 = 0 }$$ Ahora, si elegimos $$\bbox{ x_0 = \frac{2}{1 - c^2} - 1} , \quad \bbox{ r = \sqrt{\left(\frac{1 + c^2}{1 - c^2} \right)^2 - 1} }$$ encontramos que $$\bbox{ (x - x_0)^2 + y^2 - r^2 = (x + 1)^2 - \frac{4 x}{1 - c^2} + y^2 }$$ Por lo tanto, $$\bbox[#ffffef]{ \bbox{ \left\lvert \frac{z - 1}{z + 1} \right\rvert = c } \quad \iff \quad \bbox{ (1 - c^2)\left( (x - x_0)^2 + y^2 - r^2 \right) = 0 } , \quad \bbox{ z = x + i y } \tag{7a}\label{NA7a} }$$ donde $$\bbox[#ffffef]{ \bbox{ x_0 = \frac{2}{1 - c^2} - 1 } , \quad \bbox{ r = \sqrt{\left(\frac{1 + c^2}{1 - c^2} \right)^2 - 1} } , \quad \bbox{ c \gt 0 } , \quad \bbox{ c \ne 1 } , \quad \bbox{ c \in \mathbb{R} } \tag{7b}\label{NA7b} }$$ y describe un círculo de radio $r$ centrado en $z = x_0$ en el eje real cuando $c \gt 0$ , $c \ne 1$ y una línea a lo largo del eje imaginario cuando $c = 1$ . No se necesita intuición ni geometría, basta con álgebra básica.

Answer 3

Pista:

$$ \eqalign{ & \left| {{{z - 1} \over {z + 1}}} \right| = c\quad \Leftrightarrow \quad \left| {z - 1} \right| = c\left| {z + 1} \right|\quad \Leftrightarrow \cr & \Leftrightarrow \quad {\rm distance}\;\left( {x,y} \right)\;{\rm from}\;(1,0) = c\; \cdot \;{\rm distance}\;\left( {x,y} \right)\;{\rm from}\;( - 1,0) \cr} $$ que es otra forma de definir un círculo.

Gracias a @Rahul por indicar la atribución real de dicha definición ( https://en.wikipedia.org/wiki/Circle#Circle_of_Apollonius )

Answer 4

Vamos a tener $MA=kMB\iff \dfrac{MA}{MB}=k$ con puntos fijos $A,B$ y $k>0,k\neq 1$ una constante.

Entonces el lugar geométrico de $M$ es un círculo.

Nota: el caso $k=1$ degenera en una línea, en efecto $MA=MB$ es simplemente la mediatriz de $[A,B]$ .

La ecuación original puede escribirse $(\overrightarrow{MA})^2=k^2(\overrightarrow{MB})^2\iff (\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB})=0$

Así que definamos $I,J$ los centroides $\begin{cases}\overrightarrow{IA}-k\,\overrightarrow{IB}=\vec 0 &:& I=\dfrac{A-kB}{1-k}\\\overrightarrow{JA}+k\,\overrightarrow{JB}=\vec 0&:& J=\dfrac{A+kB}{1+k}\end{cases}$

Entonces obtenemos $((1-k)\overrightarrow{MI})((1+k)\overrightarrow{MJ})=0\quad$ y puesto que $(1-k^2)\neq 0\ $ (no el caso degenerado) entonces

$\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0\iff$ $M$ está en un círculo de diámetro $[IJ]$

Del mismo modo $\dfrac{|z-z_A|}{|z-z_B|}=k$ es estrictamente equivalente al problema anterior, mientras que identificar $M$ a $z$ y $A,B$ a $z_A,z_B$ respectivamente.