¿Qué es la integral?
PS
He intentado varias sustituciones, pero no pude obtener la respuesta.
La sustitución $$\int_{0}^{a}\sqrt{{\tanh}(a)-{\tanh}(x)}\;dx$ se ha simplificado en función racional en y, pero no pude continuar.
tengo
PS
Respuestas
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$$I=\int_0^a \sqrt{\tanh a-\tanh x}dx\overset{\tanh x=y}=\int_0^{\tanh a} \sqrt{\tanh a-y}\ \frac{dy}{1-y^2}$ $ Permítanos denotar $\tanh a=n$ por ahora. Y nuestro primer objetivo debe ser deshacernos de la raíz cuadrada, por lo que una sustitución de $n-y =t^2$ quedaría bien. $$I=\int_0^n \frac{\sqrt{n-y}}{1-y^2}dy=\int^0_{\sqrt n} \frac{t}{1-(n-t^2)^2}(-2t\,)dt=\int_0^{\sqrt n} \frac{2t^2}{1-(n-t^2)^2}dt$ $ $$=\int_0^\sqrt n \frac{1+n}{1+n-t^2}dt-\int_0^\sqrt n \frac{1-n}{1-n+t^2}dt$ $ $$=\frac{1+n}{\sqrt{1+n}}\operatorname{arctanh}\left(\frac{t}{\sqrt{1+n}}\right)\bigg|_0^\sqrt n-\frac{1-n}{\sqrt{1-n}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{1-n}}\right)\bigg|_0^\sqrt n$ $ $$={\sqrt{1+\tanh a}}\cdot \operatorname{arctanh}\left(\sqrt{\frac{{\tanh a}}{1+\tanh a}}\right)-{\sqrt{1-\tanh a}}\cdot \arctan\left(\sqrt{\frac{{\tanh a}}{1-\tanh a}}\right)$ $
Matteo
Puntos
56
Insinuación
Compruebe si este enfoque es útil. La sustitución $$ y = \sqrt{\tanh(a)-\tanh(x)}$ $ te da $$y^2 = \tanh(a)-\tanh(x),$ $ y, por lo tanto, \begin{eqnarray} &&2y dy = -(1-\tanh^2(x)) dx\\ &&2ydy = -\left[1-(\tanh(a)-y^2)^2\right] dx\\ &&\frac{2y dy}{(y^2-\tanh(a))^2-1} = dx. \end {eqnarray} Luego la integral se vuelve racional, es decir \begin{eqnarray}\mathcal I &=& \int \sqrt{\tanh(a)-\tanh(x)}dx= \\ &=&2\int \frac{y^2dy}{{(y^2-\tanh(a))^2-1}}=\\ &=&2\int\frac{y^2dy}{(y^2-\tanh(a)-1)(y^2+1-\tanh(a))}=\\ &=& 2\int \frac{y^2dy}{(y-\sqrt{\tanh(a)+1})(y+\sqrt{\tanh(a)+1})(y^2+1-\tanh(a))}, \end {eqnarray} recordando que $-1\leq \tanh(x) \leq 1$ . Puedes proceder desde aquí con fracciones parciales.
