¿Por qué una categoría de sector es una categoría?

Question

No entiendo por qué el Hom-establece en una rebanada categoría son disjuntas.

Deje $C$ ser una categoría y $A$ un objeto de $C$, entonces la división de la categoría $C_{A}$ tiene como objetos de todos los morfismos $f\colon Z \to A $ donde $Z$ es un objeto de $C$.
Para dos objetos de $C_A$, $f_1 \colon Z_1 \to A$ e $f_2 \colon Z_2 \to A$, los elementos de $Hom_{C_A}(f_1,f_2)$ están dadas por los elementos de a$\sigma \in Hom_{C}(Z_1,Z_2)$ que satisfacer $f_1=f_2 \circ \sigma$.

La definición de una categoría implica que $Hom_{C_A}(f,g)$ e $Hom_{C_A}(f',g')$ tiene que ser distinto, a menos que $(f,g)=(f',g')$.

Ahora vamos a $Z$ ser un objeto en $C$ y deje $f_1,f_2 \in Hom_{C}(Z,A)$ tal que $f_1 \neq f_2$
A continuación, la identidad de morfismos $id_Z \in Hom_C(Z,Z)$ satisface $f_1=f_1\circ id_Z$ e $f_2=f_2\circ id_Z$.
Por lo tanto $id_Z \in Hom_{C_A}(f_1,f_1)$ e $id_Z \in Hom_{C_A}(f_2,f_2)$, lo que implica que $C_A$ no es una categoría.

Lo que estoy haciendo mal aquí? He tenido este problema desde que leí la definición de una rebanada de la categoría en Aluffi del libro, que me parece un poco confuso.
Al principio pensé que tal vez el morfismos contienen la información de su origen y de destino y que, en lugar de los elementos de la $Hom_C(f_1,f_2)$ que sería algo así como tuplas de la forma $(f_1,f_2,\sigma)$ donde $\sigma \in Hom_C(f_1,f_2)$.
Pero de acuerdo a la definición dada en la Wikipedia por ejemplo (https://en.wikipedia.org/wiki/Comma_category#Definition), este no parece ser el caso.

Answer 1

Hay dos maneras que usted puede definir los morfismos parte de una categoría $\mathcal{C}$. Ya sea:

• Definir un conjunto $\mathrm{mor}(\mathcal{C})$ de morfismos y funciones de $\mathrm{dom}, \mathrm{cod} : \mathrm{mor}(\mathcal{C}) \to \mathrm{ob}(\mathcal{C})$; o
• Definir conjuntos de $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ por cada $A,B \in \mathrm{ob}(\mathcal{C})$.

Para traducir desde la primera definición en el segundo, se puede definir $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ a $\{ f \in \mathrm{mor}(\mathcal{C}) \mid \mathrm{dom}(f) = A \text{ and } \mathrm{cod}(f) = B \}$. Entonces el hom establece automáticamente distinto, ya que el dominio y codominio son codificados en el morfismos.

En el segundo caso, sin embargo, el hom conjuntos no necesitan ser distinto, ya que no requiere explícitamente disjointness de los hom conjuntos. Por lo tanto el segundo caso es más general que el primer caso. Esta es la razón por la que algunas personas requieren hom conjuntos disjuntos-es decir, de modo que $\mathrm{dom}(f)$ e $\mathrm{cod}(f)$ están bien definidos.

Sin embargo, siempre puedes activar una especificación de una categoría sin discontinuo hom juegos en una especificación de una categoría con distintos hom conjuntos, mediante la sustitución de $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ por $\{A\} \times \{ B \} \times \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$, por lo que una de morfismos $f : A \to B$ es "oficialmente" un triple $(A,B,f)$.

Esto es equivalente a la definición de $\mathrm{mor}(\mathcal{C})$ a ser distinto de la unión de $\bigsqcup\limits_{(A,B) \in \mathrm{ob}(\mathcal{C}) \times \mathrm{ob}(\mathcal{C})} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ y teniendo en $\mathrm{dom}$ e $\mathrm{cod}$ a los respectivos mapas de proyección a $\mathrm{ob}(\mathcal{C})$.

Bajo este tipo de codificación, una de morfismos $\sigma : (f_1 : Z_1 \to A) \to (f_2 : Z_2 \to A)$ en $\mathcal{C}/A$ es 'oficialmente' triple a $(f_1,f_2,\sigma)$ donde $\sigma : Z_1 \to Z_2$ e $f_2 \circ \sigma = f_1$. Los morfismos $\mathrm{id}_Z : f_1 \to f_1$ e $\mathrm{id}_Z : f_2 \to f_2$ son entonces 'oficialmente' triples $(f_1,f_1,\mathrm{id}_Z)$ e $(f_2,f_2,\mathrm{id}_Z)$, por lo que no tiene ningún problema.

Sin embargo, en la práctica, es más fácil definir $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ sin preocuparse de si el hom conjuntos son disjuntos, y el resto fácil con el conocimiento de que el hom conjuntos podrían ser hechos inconexos, si quisieras.